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M@ryam

Invité

limite simple non holo de fonctions holo

Bonsoir,

J'ai juste une question, est ce que quelqu'un connaitrait une suite de fonctions holomorphe convergeant simplement vers une fonction qui n'est pas holomorphe ?

Merci d'avance et bonne nuit à tous !

M@ryam

Invité

Re : limite simple non holo de fonctions holo

Bonsoir,
J'ai posé la question à un prof de Fac manipulant assez régulièrement l'holomorphie et voici sa réponse :

"Bonsoir.

           Voici un sketch de construction (dont je n'ai pas vérifié les détails) :

1. Prenez d'abord pour chaque n une fonction f_n analytique sur un voisinage de la réunion du singleton {0}, du segment réel [1/n,1] et de l'ensemble des z de module <=1 et de distance à R_+ supérieure ou égale à 1/n, nulle sur les voisinages du segment et de la portion de disque et valant 1 en 0. Cela ne présente pas de difficulté puisque les voisinages des trois morceaux peuvent être choisis distincts.

2. Ensuite, puisque le complémentaire de l'ensemble compact ci-dessus est connexe, par le théorème de Runge, on peut se donner des polynômes p_n à distance au plus 1/n de f_n sur le compact prescrit.

3. Alors les p_n sont analytiques sur le disque ouvert et on vérifie facilement que pour z dans le disque p_n(z) converge vers 0 si z n'est pas nul, et vers 1 si z=0."

       
Bonne soirée !