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pentium mix

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Théorie ZFC des ensembles

Bonjour svp je ne comprend vraiment rien en théorie naïve des ensembles

J'ai plusieurs préoccupation svp
J'aimerai résoudre cet exercice svp
1)Si a × b = c × d, dans quelle(s) condition(s) peut-on avoir a = c et b = d ?

2)Soit f une application ; montrer qu’il existe deux applications f1 et f2 telles
que f = f1 ◦ f2 , f1 injective et f2 surjective.

On considère deux applications f : A → B et g : C → D.
3) A quelle(s) condition(s) la relation binaire f ∪g est-elle une application de A∪C vers B∪D ?
4)On suppose que f et g sont injectives ; à quelle(s) condition(s) f ∪ g est-elle une application
injective ?
6) On suppose que f est bijective et g n’est pas surjective ; f ∪ g peut-elle être surjective ?

Je ne sais vraiment pas par où commencé ni quel axiome utilisé

Merci d'avance

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour

Pour la 2, vous pouvez déjà procéder par analyse-synthèse afin de cerner la réponse, sachant qu'une application comprend la donnée de ses ensembles de départ et d'arrivée.
Pour trouver $f_2$ ( qui doit être surjective), quelle fonction ne s'éloignerait par trop de f tout en étant surjective ?
Il suffirait ensuite de composer par une application injective évidente pour retomber sur ses pieds.

Pour la 3, dans quel seul cas précis la réunion de f et g ne serait-elle pas une application :
s'il existait $x \in A \cap C$  avec $f(x) \ne g(x)$ non? Car alors ce x aurait DEUX images par $f \cup g$
Donc...

Pour la 4, la condition que f et g soient injectives afin que $f\cup g$ le soit aussi est une nécessité, ce qui devrait vous mettre sur la voie pour voir que ce n'est pas suffisant .
En effet dans quel cas insidieux ( même avec f et g injectives) pourrait-on avoir $(f \cup g) (x) =   (f \cup g) (y)$ et $x \ne y$ ?

Pour la dernière question, la réponse est oui bien-sûr

A= {0 } B = {0}  f(0) = 0   ,  f est bijective
C = {1}  D = {0,1}   g(1) = 1 , g n'est pas surjective 

$f \cup g$ est bien surjective (et même bijective)

Il y a pleins d'autres exemples que vous pouvez chercher

Tof

Dernière modification par Tof (30-05-2022 10:53:42)

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Si f:A--->B alors g:A--->im(f) est une surjection

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Quel g notamment, on peut en trouver plein d'inutiles non?

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Quel g notamment, on peut en trouver plein d'inutiles non?

L'idée que j'ai c'est de considérer g:A--->f(A) qui a x associe g(x)=f(x) et   h: f(A)---->B l'injection canonique

La , j'ai bien g surjective, h injective et f=h°g

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Oui c'est cela.

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Oui c'est cela.

Merci beaucoup

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour,

Pour la question 4 la réponse  s'exprime simplement au moyen d'une implication en revenant aux éléments.
Si on veut néanmoins s'en tenir à une formulation ensembliste , en notant $\Delta$ les diagonales cela revient à dire 

$(f \times g ) ( \complement \Delta_{A \times C} ) \subset  ( \complement \Delta_{B \times D} )$

Plus subtil, mais a le mérite de mettre en valeur le comportement conjoint de f et g.

La question 3 s'exprime également par:

$(f \times g ) (  \Delta_{A \times C} ) \subset  (  \Delta_{B \times D} )$

Tof

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour,

Pour la question 4 la réponse  s'exprime simplement au moyen d'une implication en revenant aux éléments.
Si on veut néanmoins s'en tenir à une formulation ensembliste , en notant $\Delta$ les diagonales cela revient à dire 

$(f \times g ) ( \complement \Delta_{A \times C} ) \subset  ( \complement \Delta_{B \times D} )$

Plus subtil, mais a le mérite de mettre en valeur le comportement conjoint de f et g.

La question 3 s'exprime également par:

$(f \times g ) (  \Delta_{A \times C} ) \subset  (  \Delta_{B \times D} )$

Tof

Bonjour bonjour
Je ne comprend pas bien cette façon de procéder

S'il vous plait y'a t'il un livre qui détaille de manière précise la théorie axiomatique des ensembles ??
Je cherche un tel livre mais en vain

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour,

En revenant aux éléments ( sans expression ensembliste ) la 3 revient à dire que:

$\forall x \in A \cap C \; f(x) = g(x)$, donc que f et g doivent être identiques sur cette intersection.
Avec le fait que f et g sont des applications, on ne peut donc  avoir f(x) distinct de g(x) pour un x, il n'y a donc pas de x tel que
fug (x) aient deux images (au moins).
Ainsi tout x de $A \cup C$ possède une image et une seule par f u g: c'est donc une application.

La 4:
Pour avoir l'injectivité en prime, il faut à la fois que f et g le soient , mais aussi que pour tous $x \ne y  f(x) \ne g(y)$,
sinon on aurait x et y différents avec fug(x) = fug (y) =z , les couples (x , z) et (y , z)  serait dans le graphe réunion de ceux
de f et g, donc dans le graphe de fug ( par définition ).
Cette propriété en sus suffit à obtenir l'injectivité de fug

Le passage par les produits cartésiens permet de s'affranchir du détail sur les éléments

fxg( x,y ) = ( f(x) , g(y) ) permet de prendre en compte simultanément des comportements de f et g.
Un couple est dans la diagonale quand ses projections sont égales.

Pour la question 3  on doit avoir x = y => f(x) = g(y)  , équivalent à dire $(x,y) \in \Delta => ( f(x), g(y)) \in \Delta $
Démarche similaire pour la 4   : $ x \ne y  => f(x) \ne g(y)$ d'où son expression avec les complémentaires des diagonales .

Vous n'avez pas vraiment besoin de plonger dans un livre de théorie axiomatique des ensembles pour cet exercice, juste connaître les définition de f u g, de l'injectivité, d'un graphe, de fxg que je vous donne, de la diagonale d'un produit cartésien.

Tof

Dernière modification par Tof (31-05-2022 10:45:38)

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Merci beaucoup

Tof

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour,

Si vous y tenez, le livre de J-L Krivine ( chez Cassini je crois, ou vieux Que-sais-je ) donne un bon aperçu de la théorie ZFC en se cantonnant même juste aux premiers chapitres.
Le tome 1 d'Algèbre Ramis fait une présentation succinte mais très propre aussi (avec l'axiome de fondation en moins).

Je crains que vous perdiez du temps de travail en vous plongeant dans ce genre de lecture, très axiomatique, qui n'a pas d'intérêt immédiat dans un exercice comme le vôtre ( et bien d'autres).
Une lecture en diagonale (sans jeu de mot) des axiomes de base donne cependant une idée utile de comment est construite la théorie ZFC.
Quel est vôtre niveau d'étude ?

Tof

pentium mix

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Re : Théorie ZFC des ensembles

Bonjour,

Si vous y tenez, le livre de J-L Krivine ( chez Cassini je crois, ou vieux Que-sais-je ) donne un bon aperçu de la théorie ZFC en se cantonnant même juste aux premiers chapitres.
Le tome 1 d'Algèbre Ramis fait une présentation succinte mais très propre aussi (avec l'axiome de fondation en moins).

Je crains que vous perdiez du temps de travail en vous plongeant dans ce genre de lecture, très axiomatique, qui n'a pas d'intérêt immédiat dans un exercice comme le vôtre ( et bien d'autres).
Une lecture en diagonale (sans jeu de mot) des axiomes de base donne cependant une idée utile de comment est construite la théorie ZFC.
Quel est vôtre niveau d'étude ?

Tof

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