Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kibi

Invité

Analyse complexe

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien ! Cet exercice me cause problème

Soit $F$ la famille des fonctions holomorphes $f : \mathbb{D}(0,3) \rightarrow \bar{\mathbb{D}(0,1}$ telles que f(0) = f'(0) = 0

1. Montrer que $|f(z)| < 1$ pour tout $z \in \mathbb{D}(0,3)$ et $f \in F$.
2. Trouver $max_{f \in F}|f(1)|$.

Pour la deux il suffit de prendre un cas particulier, on trouvera que la max sera plus grand que 1 et d'après la Q1 plus petit que 1 donc le max vaut 1.
Pour la question 1 je voulais utiliser le lemme de Schwarz mais je bloque car on ne se trouve pas sur le disque unité, comment passer outre ce problème ?
Merci d'avance !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Analyse complexe

Bonjour,

  Et si tu utilisais tout simplement le principe du maximum????

F.

Kibi

Invité

Re : Analyse complexe

Bonjour !

J'ai beaucoup de mal avec le principe du maximum, pourriez vous m'aiguiller svp ? Ca sera l'occasion de me l'approprier

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Analyse complexe

Re-

  Soit $z_0\in \mathbb D(0,3)$. On sait que $|f(z)|\leq 1$ pour tout $z\in \mathbb D(0,3)$. Si tu supposes que $|f(z_0)|=1$, alors $|f|$ admet un maximum local en $z_0$ donc, par le principe du maximum, $f$ est constante et en particulier $|f(z)|=1$ pour tout $z\in\mathbb D(0,3)$. C'est impossible puisque $f(0)=0$.

F.

Kibi

Invité

Re : Analyse complexe

Et dans ce cas $|f(z)| < 1$, je vois merci !
Par contre pour la question 2, ca me semblait évident mais maintenant que je cherche je vois que non. Je voulais trouver une fonction particulière telle que f(0) = f'(0) = 0 et telle que f(1) = 1. Je pensais à $f(z) = z²$ mais elle n'est pas à valeurs dans $\mathbb{D}(0,1)$. Comment faire ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Analyse complexe

Bonjour,

Puisque [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex], on est poussé à considérer [tex]g(z)=\dfrac{f(z)}{z^2}[/tex].
Et si l'on veut une fonction définie sur le disque unité, [tex]z\mapsto g(3z)[/tex] fait l'affaire.

Physcitech

Invité

Re : Analyse complexe

Bonjour,

Puisque f(0) = f'(0) = 0 est ce qu'il ne vaut pas mieux considérer $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ ? Sinon il faudrait également supposer $f''(0)=0$.
Que faire ensuite avec cette fonction ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Analyse complexe

Puisque [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex], la fonction [tex]z\mapsto \dfrac{f(z)}{z^2}[/tex] se prolonge holomorphiquement en [tex]0[/tex]. Pourquoi faudrait-il supposer [tex]f''(0)=0[/tex] ?
Que faire avec cette fonction holomorphe ? Je laisse Kibi y réfléchir.

Kibi

Invité

Re : Analyse complexe

Bonjour Michel,

En notant $g(z) = \frac{f(z)}{z^{2}}$ je trouve que $g(0) = lim_{z \rightarrow 0}\frac{\frac{f(z)}{z} - f'(0)}{z - 0}= f''(0)$, comment prolonger en 0 ?
Est ce que qu'il faut appliquer le lemme de Schwarz à la fonction g ? Dans ce cas on fait un changement de variable pour avoir une fonction définie sur le disque unité ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Analyse complexe

Considère le DSE de [tex]f[/tex] en 0. Quelle tête a-t-il ? Ne vois-tu pas alors le DSE de [tex]g[/tex] en 0.
Après, tu peux appliquer le principe du maximum à [tex]g[/tex] (de la même façon qu'on applique le principe du maximum à [tex]\dfrac{h(z)}{z}[/tex] quand [tex]h(0)=0[/tex] pour démontrer le lemme de Schwarz)

Kibi

Invité

Re : Analyse complexe

Le dse de f en 0 est $f(z) = \sum_{k \geq 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}z^{k}$. Par contre j'ai plus de mal pour celui de g.
Pour la suite, je suis le raisonnement mais dans mon cours g est à valeurs dans $\mathbb{D}$ du coup je suis un peu perdu étant donné que je maitrise mal le cours. Vous pourriez m'expliquer comment faire svp ?

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Analyse complexe

Soit [tex]f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots[/tex] le DSE de [tex]f[/tex] à l'origine.
Que disent les conditions [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex] sur les coefficients [tex]a_i[/tex] ?
Vois-tu alors que [tex]f(z)/z^2[/tex] se prolonge de façon holomorphe à l'origine ? Quel est le DSE à l'origine de [tex]f(z)/z^2[/tex] ?

Kibi

Invité

Re : Analyse complexe

On a $a_{0} = a_{1} = 0$. Le DSE de $\frac{f(z)}{z^{2}} = \sum_{k \geq 0} \frac{f^{k+2}(0)}{(k+2)!}z^{k}$, comment appliquer le principe du maximum à cette fonction ? De plus, cette dernière est définie sur D(0,3), ca ne gene pas pour la suite du raisonnement ?