Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

Bernard-maths · 06-05-2022 12:35:45

Bonjour à tous !

Un petit jeu sur le cube, que j'ai mis au point pour amuser les enfants ... et les autres ! ... J'ai construit un grand cube en empilant 27 petits cubes blancs ...

Puis j'ai coloré les 6 faces extérieures du grand cube en rouge : le grand cube est donc rouge !

Je procède alors aux 3 manipulations suivantes : la tranche antérieure (de 9 cubes) passe derrière, la tranche de droite (de 9 cubes) passe à gauche, et la tranche supérieure (de 9 cubes) passe dessous, vu ?

1°) Quelle est alors la couleur du grand cube ?

Voici une image :

Sur cette image on va dire qu'on voit le cube ainsi, et donc convenir que le devant est entre x = 2 et x = 3 ; la droite entre y =2 et y = 3 ; et le dessus entre z = 2 et z = 3.
On va aussi numéroter les tranches : en partant de l'origine O , 1, 2 , 3 d'arrière en avant selon l'axe des x ; 1, 2, 3 de gauche à droite selon l'axe des y ; et 1, 2, 3 du bas vers le haut selon l'axe des z.
Ainsi le petit cube dont un sommet est le point O, est dans les tranches 1, 1 et 1 ; nous conviendrons que ses coordonnées sont (1,1,1). le cube du coin opposé sera en (3,3,3), le cube du centre en (2,2,2), etc ...

Il y aura une suite ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-05-2022 10:13:50)

Bernard-maths · 07-05-2022 10:03:32

Bonjour à tous !

Le W-E arrive, peut-être que quelqu'un arrivera à répondre à la question précédente : couleur du grand cube après les 3 manip(s) ...?

En attendant de parler couleur, parlons positions ! Si je symbolise le fait de passer la tranche Antérieure derrière, en Postérieure par A -> P ; la tranche de Droite à Gauche par D -> G ; et la tranche supérieure du Haut en Bas par H -> B ;

2°) l'ordre de ces 3 manip(s) est-il déterminant pour le changement des positions des petits cubes ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-05-2022 10:14:25)

Wiwaxia · 07-05-2022 13:38:02

Bonjour Bernard-maths,

Une amorce de solution consiste à caractériser chacun des petits cubes d'arête (a) par trois indices (i, j, k) appartenant au domaine [0 ; 2] ; le centre de chacun d'entre eux admet ainsi pour coordonnées:

x = (i + 1/2)*a ; y = (j + 1/2)*a ; z = (k + 1/2)*a .

La translation des tranches (parallèlement à l'un des axes) accompagnée d'une permutation circulaire est représentée par l'un des changements de coordonnées:

Tx: x' = (x + 1) MOD 3 ; y' = y ; z' = z ;
Ty: x' = x ; y' = (y + 1) MOD 3 ; z' = z ;
Tz: x' = x ; y' = y ; z' = (z + 1) MOD 3 .

Il faut enfin mettre en mémoire les couleurs des six faces de chacun des cubes élémentaires par un tableau de six variables bivaluées, en prenant pas ex.

o (ou false) pour le blanc, 1 (ou true) pour le rouge .

et en faisant intervenir un tableau tridimensionnel du type

ARRAY[0..2, 0..2] OF ARRAY[1..6] OF ... etc.

Mais c'est peut-être aller chercher très loin ce qui est à portée de main (j'ai le don des complications inutiles);
la translation des tranches parallèlement à l'axe (x'x)
- découvre la face blanche (d'abscisse x = x_c + a/2) des cubes de la seconde tranche, qui vient en troisième position;
- occulte la face rouge des cubes de la troisième, ramenée en première position; la face externe est alors la blanche, d'abscisse x = x_c - a/2 .

Le résultat est donc de blanchir les deux faces du grand cube normales à (x'x), d'abscisses (0) ou (3*a), et elles seules.

Effet semblable pour les deux autres opérations, qui ne concernent que les deux autres paires de faces parallèles.

On obtiendra un grand cube entièrement blanc, quel que soit l'ordre des trois opérations.

Il faut que je retourne au jardin.

Dernière modification par Wiwaxia (07-05-2022 13:41:31)

Bernard-maths · 07-05-2022 15:21:22

Bonjour Wiwaxia ! ... et les autres !

Oui, bien vu ! On va compter modulo 3, mais moi je compte les tranches de 1 à 3 ...

1°) Chaque transfert de tranche enlève le rouge d'un côté qui va cacher le rouge en face. Donc en 3 coups le grand cube redevient blanc !

2°) L'ordre des 3 échanges de tranches ne change rien au résultat !
Si (x,y,z) sont les coordonnées de tranches d'un petit cube, la tranche 1 en x passe à 2, la 2 passe en 3, et la 3 passe en 1 = 3+1 (mod 3) !

Il en est de même en y et en z. Donc le cube (x,y,z) se retrouve en (x+1 (mos 3), y+1 (mod 3), z+1 (mod 3)).

Alors les questions suivantes :

3°) Puisqu'après les 3 premières manip(s) de tranches, le cube est redevenu blanc, je le colorie en Jaune. Et je recommence un échange de 3 tranches !

Comment est le grand cube ? De combien de couleurs puis-je colorer ce grand cube ?

4°) En suivant les coordonnées d'un petit cube, au bout de 3 manip(s) d'échanges de tranches, que constate-t-on ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-05-2022 15:35:25)

Wiwaxia · 07-05-2022 21:00:15

Le cube reste blanc après deux groupes de 3 permutations des tranches; mais à la troisième, il devient jaune.

On pourrait probablement utiliser 3 couleurs différentes en repeignant à nouveau le grand cube, comme la première fois; on verrait se succéder périodiquement les 3 couleurs: A, B, C, A, B, C ... etc .

Dernière modification par Wiwaxia (07-05-2022 21:00:51)

Bernard-maths · 07-05-2022 21:16:59

YES Wiwaxia ! Un tel cube 3 x 3 x 3 permet d'avoir 3 couleurs ; pour en avoir 4, il faut 4³ = 64 petits cubes ; pour n couleurs il en faut n³ !

Avec des petits cubes de 2 cm ou de 1,5 cm, on arrive avec un peu d'habileté à déplacer les tranches entières, donc moi je me limite à des cubes de 3 ou 4 de côté ...

5°) Comme avec le Rubik's cube, on peut faire des figures avec des déplacements différents selon les tranches ...

Si le grand cube a été coloré en rouge la 1ère fois, en jaune la 2ème fois, et en vert la 3ème fois ... quelle(s) manipulation(s) peut-on faire pour avoir des faces opposées de même couleur, et de voir les 3 couleurs ?

On peut aussi alors les faire tourner ... ça devient joli ...

Bon jardinage, après le Covid, moi j'attends la semaine prochaine pour m'y mettre !

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-05-2022 21:25:40)

Wiwaxia · 07-05-2022 21:52:39

Bernard-maths a écrit :

... On va compter modulo 3, mais moi je compte les tranches de 1 à 3 ...

Il me paraît difficile de maintenir ce type de numération dès lors qu'intervient le reste d'une division euclidienne: la première tranche est caractérisée par l'indice (0).

J'ai fait à ce sujet un lapsus, et les relations données concernaient en fait les indices:

Tx: i' = (i + 1) MOD 3 ; j' = j ; k' = k ;
Ty: i' = i ; j' = (j+ 1) MOD 3 ; k' = k ;
Tz: i' = i ; j' = j ; k' = (k + 1) MOD 3 ;

mais tu as cependant bien vu de quoi il retournait.

Bernard-maths a écrit :

De combien de couleurs puis-je colorer ce grand cube ? ...

Je crois que l'énoncé, tel qu'il a été donné jusqu'à présent, n'impose aucune contrainte sur le choix des couleurs; la couleur imposée au grand cube réapparaît après 3 groupes d'opérations (Tx, Ty, Tz):

(Couleur apparue)_n = (Couleur imposée)_n-3 .

Désolé pour l'indigence de cette notation.

Bernard-maths · 24-05-2022 18:16:40

Bonsoir à tous !

Voici quelques images !
.

D'abord la configuration des 27 cubes à colorier, selon des patrons indiquant les couleurs : le bout à gauche est dessous, le centre est dessus, les 4 autour pour le devant (en bas), l'arrière (en haut), gauche et droite.

Une vue "éclatée en 3 tranches verticales", avec miroir arrière ! Cube en 3 couleurs si on décale en 0, 1 et 2 tranches. Comme le Rubik's si on fait tourner les faces ... à retrouver !

Ca a bien distrait les petits ... ET les grands.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-05-2022 18:20:18)

Zebulor · 24-05-2022 21:41:44

Bonsoir,

trouvé ceci à propos de Rubik's cube..

https://www.youtube.com/watch?v=NqGgwDSvWvU

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#1 06-05-2022 12:35:45

Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#2 07-05-2022 10:03:32

Re : Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#3 07-05-2022 13:38:02

Re : Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#4 07-05-2022 15:21:22

Re : Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#5 07-05-2022 21:00:15

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Re : Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#7 07-05-2022 21:52:39

Re : Permutations de tranches et couleurs d'un cube.

#8 24-05-2022 18:16:40

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#9 24-05-2022 21:41:44

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