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Toni

Invité

Petit exercice de proba

Bonjour, quelqu'un svp peut m'aider à démontrer la cinquième assertion dans le premier exercice dans cette page :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo
Il n'y a pas sa démonstration sur la page .
Merci beaucoup.

bridgslam

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Re : Petit exercice de proba

Bonjour,

Il vous suffit de reprendre la définition.

- l'ensemble des images de la nouvelle famille est au plus dénombrable puisque la famille est indexée par un ensemble dénombrable
- Vérifier que les intersections 2 à 2 d'images distinctes de la famille sont vides
- vérifier que la réunion de toutes les images de la famille est l'univers U.

C'est du calcul ensembliste.

remarque : comme une image de la famille peut même être vide, on ne parle pas de partition de U, mais de partage de U dans certains bouquins (Arnaudiès-Fraysse de mémoire il me semble)

A.

Toni

Invité

Re : Petit exercice de proba

Bonjour,

Il vous suffit de reprendre la définition.

- l'ensemble des images de la nouvelle famille est au plus dénombrable puisque la famille est indexée par un ensemble dénombrable
- Vérifier que les intersections 2 à 2 d'images distinctes de la famille sont vides
- vérifier que la réunion de toutes les images de la famille est l'univers U.

C'est du calcul ensembliste.

remarque : comme une image de la famille peut même être vide, on ne parle pas de partition de U, mais de partage de U dans certains bouquins (Arnaudiès-Fraysse de mémoire il me semble)

A.

Oui , j'ai pensé à celà , mais j'ai trouvé des difficultés concernant la distributivité d'une union Infini par rapport à une intersection, de même pour une intersection Infini d'une intersection ?
C'est à dire , est ce qu'on peut dire que :
Π(AnUBp)=Π(An)UΠ(Bp) ( Π: symbole d'intersection) et même pour l'union
U(AnUBp)=U(An)U U(Bp)
Pour montrer celà.

bridgslam

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Re : Petit exercice de proba

Bonsoir,

Pour l'intersection c'est 2 à 2 donc il suffit de voir que si $(n,m) \ne (n',m')$  alors $(A_n \cap B_m ) \cap (A_{n'} \cap B_{m'} )$ est
vide, ce qui est facile.

Pour ce qui est de l'union, ça marche aussi pour les familles infinies, vous pouvez vous en convaincre en revenant aux définitions portant sur les éléments avec des quantificateurs, d'ailleurs  si les familles étaient quelconques ( finies, dénombrables, ou pas...)
ça marchait aussi.
Vous pouvez aussi voir directement que si x est dans U, il appartient à un $A_i$  et à un $B_j$, par hypothèse, donc à leur intersection, et le couple (i,j) convient.

A.

Michel Coste

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Re : Petit exercice de proba

Bonjour,
Ce dont tu as besoin, c'est [tex]\bigcup_{n,p}(A_n\cap B_p)=\left(\bigcup_n A_n\right)\cap\left(\bigcup_p B_p\right)[/tex].
Qu'est-ce que ça veut dire que [tex]x[/tex] appartient à l'ensemble de gauche ? Ça veut dire qu'il existe un couple [tex](n,p)[/tex] tel que [tex]x\in A_n[/tex] et [tex]x\in B_p[/tex].
Qu'est-ce que ça veut dire que [tex]x[/tex] appartient à l'ensemble de droite ? Ça veut dire qu'il existe un [tex]n[/tex] tel que [tex]x\in A_n[/tex] et un [tex]p[/tex] tel que [tex]x\in B_p[/tex].
N'as-tu pas la très nette impression qu'on dit deux fois la même chose ?