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alkmioPl

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Anneaux de polynomes exercices corrigés

Bonsoir,

Ce serait juste pour savoir si vous connaitriez des ressources (sites ou ouvrages) où l'on peut trouver différents exercices de polynômes dans Z/nZ (ex: Z/5Z, Z/12Z...) comme par exemple factoriser un polynôme en produit de facteurs irréductibles. Ou encore décomposer une fraction en éléments simples. Car je trouve principalement des exercices dans R ou C, mais beaucoup plus rarement dans Z/nZ.

Merci en tous cas,

Cordialement.

Michel Coste

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Re : Anneaux de polynomes exercices corrigés

Bonsoir,

Attention, [tex]\mathbb Z/n\mathbb Z[/tex] n'est pas toujours intègre. Ce n'est que quand [tex]n[/tex] est premier que les résultats généraux pour les polynômes sur un corps s'appliquent.

Dernière modification par Michel Coste (16-04-2022 23:34:50)

alkmioPl

Invité

Re : Anneaux de polynomes exercices corrigés

Au fait je recherche juste des exercices comme ceux là, pour m'entraîner un peu plus:

Soit le corps K := Z/5Z des classes résiduelles modulo 5. Décomposer en facteurs
irréductibles le polynôme :
[tex](x² + \bar{4}) (x² + \bar{3})[/tex]

avec K = Z/5Z, décomposer en éléments simples dans [tex]F_{k}[/tex][x] la fraction :
[tex]\frac{x-\bar{2}}{(x²+\bar{4})(x²+\bar{3})}[/tex]

Vu qu'on a pas vraiment d'exemples de ce types en TD, mais que notre prof à tendance à en mettre en examen.

Dernière modification par yoshi (18-04-2022 15:21:14)

Michel Coste

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Re : Anneaux de polynomes exercices corrigés

L'exercice que tu cites te pose problème ?

alkmioPl

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Re : Anneaux de polynomes exercices corrigés

L'exercice que tu cites te pose problème ?

Un peu vu que j'ai toujours un peu de mal avec l'arithmétique et les congruences. Pour cet exemple précis, le prof nous a donné un corrigé après l'examen, mais comme je souhaiterai éventuellement repasser cette matière en seconde session, je voulais juste savoir où est ce que je pourrais trouver des exercices qui ressemblent à ceux là afin d'être mieux préparé au cas où.

Michel Coste

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Re : Anneaux de polynomes exercices corrigés

Soit [tex]K=\mathbb Z/7\mathbb Z[/tex]. Décomposer en produit de facteurs irréductibles sur [tex]K[/tex] le polynôme [tex](X^2+\bar 3)(X^2+\bar 4)[/tex]. Décomposer en éléments simples sur [tex]K[/tex] la fraction rationnelle [tex]\dfrac{X^2+X+\bar 1}{(X^2+\bar 3)(X^2+\bar 4)}\;.[/tex]