Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Collyne

Invité

Forme quadratique

Bonjour, je bloque sur le problème suivant :

Soit q(x, y, z) = xy + xz + yz une forme quadratique sur R3.
En utilisant la réduction de Gauss, donner la réduction, le rang, la signature et une base orthogonale pour q.

Je ne vois pas comment faire, la seule idée que j'ai eu pour commencer est la suivante.

q(x,y,z) = xy + xz + yz
            = (x+z)(y+z) - z²
            = ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Forme quadratique

Bonjour,

  Pour passer à l'étape suivante, tu dois utiliser que $uv=\frac{1}4\left((u+v)^2-(u-v)^2\right)$.

F.

Collyne

Invité

Re : Forme quadratique

J'obtiens donc

q(x,y,z) = xy + xz + yz
            = 1/4 ((x+y)²-(x-y)²)+ 1/4 ((x+z)²-(x-z)²)+ 1/4 ((y+z)²-(y-z)²)
            = (x+y)²/4 - (x-y)²/4 + (x+z)²/4 - (x-z)²/4 + (y+z)²/4 - (y-z)²/4

Collyne

Invité

Re : Forme quadratique

Donc le rang = 6
et la signature = (3,3) ?

vam

Membre

Inscription : 04-10-2020

Messages : 141

Re : Forme quadratique

Et comme on ne répond pas assez vite peut-être, tu poses la question ailleurs...pas fort jolie la pratique...
https://www.ilemaths.net/sujet-forme-qu … msg8052549

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Forme quadratique

Le fil sur l'autre forum est fermé.

Revenons au sujet : les égalités que tu écris sont correctes, mais est-ce que les formes linéaires x+y, x-y, x+z, x-z, y+z, y-z sont linéairement indépendantes ? Trouver 6 comme rang d'une forme quadratique en 3 variables, ça ne te choque pas ?
Reprends donc ton calcul en suivant scrupuleusement le mode d'emploi de la décomposition en carrés de Gauss. C'est comme pour monter un meuble IKEA, il faut faire attention à bien suivre les étapes dans l'ordre.

Dernière modification par Michel Coste (16-04-2022 15:31:11)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : Forme quadratique

Petit rappel : la décomposition en carrés de Gauss est un procédé d'élimination de variables.
Quand un carré [tex]x^2[/tex] figure dans la forme quadratique, on rassemble tous les termes où figure [tex]x[/tex] et on complète le carré pour avoir un scalaire fois le carré d'une forme linéaire. Ce qui reste est une forme quadratique où ne figure plus [tex]x[/tex] et on continue avec.
Quand il n'y a aucun carré de variable et qu'il y a un produit [tex]xy[/tex] dans la forme quadratique, on rassemble tous les termes où figurent [tex]x[/tex] ou [tex]y[/tex] et on complète le produit (que l'on transforme en un scalaire fois la différence de carrés de formes linéaires par le procédé indiqué par Fred). Ce qui reste est une forme quadratique où ne figurent ni [tex]x[/tex] ni [tex]y[/tex] et on continue avec.
À la fin on a éliminé toutes les variables, et ce procédé assure que les formes linéaires qu'on a dans la décomposition sont bien linéairement indépendantes.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Forme quadratique

Bonjour,

@Collyne
De l'autre côté, comme dit Michel Coste, tu as écrit :

Je ne sais pas si ce que j'ai fait est correct.

Et suit un copier/coller de ce que tu as produit après indication donnée par Fred....

Je trouve que ton j'ai fait est "un peu" limite quand même... Certes, c'est bien toi qui l'a fait, mais après avoir été mise sur la voie par Fred  : c'est ce que j'appelle "se parer des plumes du paon". De l'autre côté donc, celui qui aurait été susceptible de te répondre se serait illusionné sur tes capacités réelles.
Alors, je trouve la réaction de vam ici et de malou de l'autre côté pertinentes.
Par égard pour Michel Coste qui a œuvré pour toi, je me contenterai de fermer la discussion.
Et soit, tu feras avec ce que t'ont dit Fred et Michel Coste, soit tu iras voir si tu trouves un 3e forum, où on ne cherchera pas à savoir si tu en as visité d'autres avant...
Tu pourras encore leur présenter le produit de tes cogitations... C'est un risque, parce que tu ne peux pas le savoir avant de poster.

J'en suis désolé pour Michel Coste qui s'est fendu de deux réponses circonstanciées, mais j'ai trop vu ce procédé qui consiste à se servir des infos glanées chez les uns, pour essayer de soutirer des réponses complémentaires aux autres et, qui sait, obtenir la réponse complète...

       Yoshi
- Modérateur -