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aimes

Invité

Projection orthogonale sur l'union de deux espaces affines

Bonjour,

J'ai deux demi-espace affines [tex]C1=\{\ x\in {R^n} \ |\  \langle u,x\rangle\leq\alpha\ \}[/tex] et [tex] C2=\{\ x\in {R^n} \ |\  \langle v,x\rangle\leq\beta\ \} [/tex]. Comment calculer la projection d'un vecteur [tex]x\in {R^n}[/tex] sur [tex]C1\cup C2[/tex] ?

Merci en avance

Fred

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Re : Projection orthogonale sur l'union de deux espaces affines

Bonjour,

  Ce problème est mal posé. Par exemple comment projettes-tu l'origine sur $C_1\cup C_2$, ou $C_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\leq -1\}$ et
$C_2=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x\geq 1\}$? Les deux points $(1,0)$ et $(-1,0)$ sont tous les deux de bons candidats.

F.

aimes

Invité

Re : Projection orthogonale sur l'union de deux espaces affines

Oui t'as raison, j'ai mal formulé ma question.
En effet c'est pas une seule projection qu'on cherche, mais plutôt la ou les projections sur cet ensemble en fonction de [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex], u et v.

Je pense de faire mieux à reporter le problème en entier.
C'est un problème d'optimisation qui demande de minimiser [tex] \|\vec x- \bar x\|^2 [/tex] avec [tex]x \in C_1 \cup C_2[/tex].
Avec u et v deux vecteurs de norme 1 et [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex][tex]\in {R}[/tex]
On connait déjà la solution de ce problème càd la projection orthogonale de [tex]\bar x[/tex] sur [tex]C_1 \cup C_2[/tex] et c'est ca que je n'arrive pas à calculer. Je sais pas comment obtenir ce résultat avec des contraintes d'inégalité.

Je m'excuse de n'avoir pas bien posé le problème du début. J'espère que c'est plus claire comme ça.

Fred

Administrateur

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Re : Projection orthogonale sur l'union de deux espaces affines

En fait, tu ne peux pas parler de LA projection orthogonale puisque ton exemple te montre qu'il n'y a pas unicité.
On ne peut parler de la projection orthogonale que sur un convexe, et en général $C_1\cup C_2$ n'est pas convexe.
La meilleure chose que je vois, c'est de calculer la projection sur $C_1$, celle sur $C_2$, puis de choisir celle qui minimise la distance.