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maths48

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Exercice dérivées partielles

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/LDhp2mPZF0A

Voici ce que j'ai fait :

https://www.cjoint.com/c/LDhpZAlw7mA
https://www.cjoint.com/c/LDhp0VAqdSA

J'ai l'impression que ma réponse pour la 3 n'est pas correcte puisqu'elle n'utilise pas du tout l'indication donnée mais honnêtement je ne vois pas comment m'en servir. Qu'y a-t-il de faux dans ce que j'ai fait ?

Qu'en pensez-vous ?
Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Bonjour,

  D'abord, moi non plus je ne comprends pas l'indication. Il suffit effectivement de montrer que $f$ admet des dérivées partielles sur un ouvert $U$ qui sont continues sur $U$ pour démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $U$.
Ensuite, ce que tu as fait a l'air correct pour $g$, c'est plus difficile pour $f$....
D'abord, $f$ est une fonction de trois variables, il y a 3 dérivées partielles à calculer.
Ensuite, il n'y a pas qu'au point $(0,0,0)$ qu'il y a un problème. En effet, il y a un problème en tous les points du type $(x,0,z)$ (ou en d'autres termes en tous les points du plan $y=0$). Enfin, ta dérivée partielle par rapport à $y$ est fausse (et en plus la formule va dépendre du fait que $y>0$ ou que $y<0$).

F.

maths48

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Re : Exercice dérivées partielles

Merci de votre réponse.

Voici ce que j'ai fait suite à votre réponse.
https://www.cjoint.com/c/LDhuXGZvXYA

Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance
Bonne soirée

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Bonjour,

  Il y a encore plusieurs erreurs. D'abord, les dérivées partielles sont des fonctions à valeurs dans $\mathbb R^2$ et non dans $\mathbb R$. De plus, ce que tu as fait pour les dérivées partielles en $(x,0,z)$ n'est pas correct. Quel sens donner à $(x\cos y,|y|)-(x)$?
Il faut que tu revois ce calcul (et en plus, il n'y a pas de dérivées partielles en les points (x,0,z)).

F.

maths48

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Re : Exercice dérivées partielles

Bonjour,

J'ai corrigé ce que j'ai fait :
https://www.cjoint.com/c/LDij0PumKaA

Qu'en pensez-vous ?

Bonne journée

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Ca ne fonctionne toujours pas. Par exemple, tu n'as pas tenu compte de cela :

D'abord, les dérivées partielles sont des fonctions à valeurs dans $\mathbb R^2$ et non dans $\mathbb R$.

En plus, je ne comprends pas du tout comment tu essaies de démontrer qu'il n'y a pas de dérivée partielle en un point $(x_0,0,z_0)$. Il faut revenir au taux d'accroissement....

F.

maths48

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Re : Exercice dérivées partielles

D'abord, les dérivées partielles sont des fonctions à valeurs dans $\mathbb R^2$ et non dans $\mathbb R$.

Qu'est-ce que cela change ?

Dernière modification par maths48 (08-04-2022 11:27:24)

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Ben tout....
C'est comme si tu me disais qu'est-ce que ça change entre la fonction $f(t)=\sin(t)$ et la fonction $f(t)=(\sin(t),\cos(t))$....

F.

maths48

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Re : Exercice dérivées partielles

Ah oui je viens de comprendre, merci de votre réponse.

J'ai corrigé :
https://www.cjoint.com/c/LDjtyLtILXA
En revanche j'ai toujours du mal avec le taux d'accroissement dont vous parliez dans votre message #6...

Qu'en pensez-vous ?
Bonne soirée

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Tu écris
$$\lim_{h\to 0}f(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}.$$
Ce n'est pas vrai!!!!!

Ce qui t'intéresse, c'est le terme de droite, mais pas n'importe quand puisque tu t'intéresses à la dérivée partielle
en un point $(x,0,z)$. Tu as donc $y=0$. Ca simplifie pas mal de chose, et l'absence de dérivée partielle en ces points
vient du fait que $h/|h|$ n'admet pas de limites quand $h$ tend vers $0$.

maths48

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Re : Exercice dérivées partielles

Ah oui alors : https://www.cjoint.com/c/LDktRJAf85A Est-ce correct ?

Merci encore,
Bonne journée

Dernière modification par maths48 (11-04-2022 10:25:33)

Fred

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Re : Exercice dérivées partielles

Non, ce n'est pas encore correct. Lorsque tu passe de la 3ème ligne à la 4ème ligne, tu passes d'un élément de $\mathbb R^2$ à un réel....