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ampl625

Invité

Trouver la limite de F

Dans cet exercice, on a une fonction f: R→R de classe [tex]C^1[/tex] et F: R²\{0} la fonction définie par

F(x,y)= [tex]\frac{f(x²+y²)-f(0)}{x²+y²}[/tex].

Et on nous demande de trouver, en justifiant

[tex]\lim_{(x,y)\to (0,0)} F(x,y)[/tex]

Si j'ai bien compris, on a normalement un taux d'accroissement de la forme [tex]\frac{f(a+h)-f(a)}{h}[/tex]
avec a = 0 et h = x²+y².

Dans ce cas, on a [tex]lim_{h\to 0} F(x,y) = f'(x,y)[/tex]

Donc [tex]lim_{(x,y)\to (0,0)} F(x,y) = f'(0,0)[/tex]

Par contre je ne sais pas vraiment quelle limite je dois trouver pour l'exercice, ni si mon raisonnement est correct pour l'instant.

Donc si quelqu'un aurait une idée pour trouver la limite demandée, ça m'aiderait beaucoup.

bridgslam

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Re : Trouver la limite de F

Bonjour,

f'(x,y) ,  f ' (0,0) n'a aucun sens, c'est F la fonction en (x,y), pas f.

On a plutôt envie de dire f '(0) non ?

$\epsilon$ > 0 donné , comme f est dérivable en 0, on a $|h| < \alpha  => |\frac{f( h) - f(0)}{h} - f '(0)  | < \epsilon$  pour un certain $\alpha > 0 $

$\forall (x,y)  \ne (0,0)$:
$|| (x,y) || < \sqrt{\alpha} => x^2 + y ^2<  \alpha => ....  => |F(x,y) - f'(0)| < \epsilon  $ en prenant la norme euclidienne, c'est l'inégalité voulue.

A.

Dernière modification par bridgslam (30-03-2022 08:36:36)

ampl625

Invité

Re : Trouver la limite de F

Bonjour,

f ' (0,0) n'a aucun sens, c'est F la fonction en (x,y), pas f.

A.

Autant pour moi, au niveau des limites c'est F' (x, y) et F'((0,0)).

Mais du coup, c'est ça la limite, ou ce n'est pas vraiment ce  qui est attendu ?

bridgslam

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Re : Trouver la limite de F

Autant pour moi, au niveau des limites c'est F' (x, y) et F'((0,0)).

Aucun sens non plus, vous ne savez pas si F est différentiable en $(x,y) \ne (0,0)$ , et en $(0,0)$ elle n'y est en plus pas définie.
Ce n'est pas ce qui est demandé:
on vous demande juste si F a une limite au point (0,0). Rien à voir avec une quelconque dérivée de F.

A.

ampl625

Invité

Re : Trouver la limite de F

Autant pour moi, au niveau des limites c'est F' (x, y) et F'((0,0)).

Aucun sens non plus, vous ne savez pas si F est différentiable en $(x,y) \ne (0,0)$ , et en $(0,0)$ elle n'y est en plus pas définie.
Ce n'est pas ce qui est demandé:
on vous demande juste si F a une limite au point (0,0). Rien à voir avec une quelconque dérivée de F.

A.

OK, mais ils ne demandaient pas s'il y a une limite en (0,0), ils demandaient de déterminer la limite en (0,0) de F(x, y).

Donc je pensais qu'il y avait bien une limite et qu'il fallait trouver laquelle.

Autant pour moi.

bridgslam

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Re : Trouver la limite de F

Bonjour,

OK, mais ils ne demandaient pas s'il y a une limite en (0,0), ils demandaient de déterminer la limite en (0,0) de F(x, y).

Donc je pensais qu'il y avait bien une limite et qu'il fallait trouver laquelle.

Vous pensiez bien, vu qu'on vous le disait ( à moins d'avoir à faire à des farceurs...)
Certes, mais dans ce genre de question, on fait les deux à la fois, puisqu'on vous stipulait "en le justifiant".

A.