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Kibi

Invité

Polynômes

Bonjour j'espère que vous allez bien. J'ai un problème sur les polynômes et je coince sur la conclusion.

Soit $K$ un corps de nombres algébriques, c'est-à-dire une extension finie de $\mathbb{Q}$ dont on note $n = [K:\mathbb{Q}]$ le degré.
J'ai montré précédemment que :
Partie 1
- il existe x dans K tel que x admette un polynôme minimal séparable sur $\mathbb{Q}[X]$ de degré n.
- il existe n plongements différents de K dans $\mathbb{C}$.
- plus précisément il existe s et t tels que n = s + 2t où on a s prolongements réels et t paires de prolongements complexes conjuguées.

Partie 2
On note $P_{s,t}$ l'ensemble des polynômes $P(X) \in \mathbb{Q}[X]$ tels que $P$ soit unitaire, ait $s$ racines réelles distinctes $x_{i}$, $1 \leq i \leq s$ et $t$ paires de racines complexes conjuguées $y_{i} \neq \bar{y_{i}}$, $s+1 \leq i \leq s+t$ distinctes.
Soit $p$ un nombre premier. On note $E_{p}$ l'ensemble des polynômes $P(X) \in \mathbb{Z}[X]$ unitaires à coefficients entiers qui vérifient le critère d'irréductibilité d'Eisenstein pour $p$.
Soit $a = (a_{1},...,a_{n}) \in \mathbb{Q}^{n}$, on note $P_{a}(X) = X^{n} + a_{1}X^{n-1} + ... + a_{n-1}X + a_{n}$.
- pour $b \in \mathbb{Q}$, $f_{b}(a_{1},...,a_{n}) = (ba_{1},...,b^{n}a_{n})$, $P_{a} \in P_{s,t} => P_{f_{b}(a)} \in P_{s,t}$
- Si $P_{a} \in E_{p}$, $\forall ã \in a + p^{2} \mathbb{Z}^{n}$, $P_{ã} \in E_{p}$

Voici donc la question : Montrer en utilisant les résultats précédents que $P_{s,t} \cap E_{p} \neq \emptyset$.
Merci d'avance de votre aide !