Forum de mathématiques - Bibm@th.net

YOURI

Membre

Inscription : 18-01-2022

Messages : 4

Distances topologiquement équivalentes

Bonjour,

Soit (X, d) un espace topologique. U un ouvert strict de X.
On définit sur U une distance  a(x,y) = d(x,y) +|1/(d(x,CU))-1/(d(y,CU))| 
  CU  désignant le complémentaire de U.
Je veux prouver que d et a sont topologiquement équivalentes.

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Distances topologiquement équivalentes

Bonjour,

  Je ne comprends pas comment est défini $a$ : si $x$ est dans le complémentaire de $U$, quel sens donner à 1/d(x,CU)????

F.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 912

Re : Distances topologiquement équivalentes

Bonjour,

Latex mieux si possible.

Les dénominateurs des fractions sont non nuls car x ne peut pas être adhérent à  $U^c$ car U est ouvert
(sinon x serait un point frontière de U,  appartenant à U ouvert...). a est défini sur U.

En adoptant les notations  $B_a$ et $B_d$  les coupes des boules relatives aux distances a et d  avec U

Il n'est pas dur de montrer que si $y \in B_a(x,R)   , x  \in \;U $,  alors $d(x,y) < R$ donc toute boule ouverte dans U pour la topologie liée à d contient une boule ouverte $B_a$ .
Dans l'autre sens c'est la même idée. Mais hélas un peu plus subtil.

On veut montrer que si R>0 est donné, ainsi que x ,  il existe R' >0 tel que d( x, y ) < R' => a(x,y) < R.
Ainsi toute boule ouverte $B_a$ contiendra une boule ouverte $B_d$.

▼ une tentative

La fonction $F:  y \rightarrow | \frac{1}{d( x,U^c)} -  \frac{1}{d( y ,U^c)}| $  étant continue il existe $\alpha >0$ tel que
$d(x,y) < \alpha => F(y) < R/2$.
Donc en posant $R' = min( R/2, \alpha)$ on a donc $d(x,y) < R' => a(x,y) = d(x,y) + F(y)  <  R$.

Ainsi la boule ouverte $B_a( x, R)$ contient une boule $B_d$ de centre x.

C'est dans les cours que si A est une partie de (X,d) , x -> d(x,A) est continue.

a et la restriction de d à U sont donc topologiquement équivalentes sur U.

A.

Dernière modification par bridgslam (20-03-2022 15:06:44)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Distances topologiquement équivalentes

Merci, j'avais raté l'information que a n'était définie que sur U/

YOURI1

Invité

Re : Distances topologiquement équivalentes

Bonjour,

Je vous remercie de vous être penchés sur ma question mais entre temps j'ai trouvé la réponse.

Bonne journée