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pentium mix

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loi de cauchy

Bonsoir s'il vous plait j'aimerai montrer que la loi de Cauchy n'admet aucun moment mais déjà je n'arrive pas a montrer qu'elle n'admet pas d'espérance (moment d'ordre 1)

Fred

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Re : loi de cauchy

Bonsoir,

  La loi de Cauchy n'admet pas d'espérance car la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x^2}$ n'est pas intégrable : elle est équivalente en $+\infty$ à $1/x$, dont l'intégrale au voisinage de $+\infty$ diverge.

F.

Michel Coste

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Re : loi de cauchy

Bonjour,

La loi de Cauchy admet tout de même un moment d'ordre 0, puisque c'est une loi de probabilité : l'intégrale de sa fonction de densité sur [tex]\mathbb R[/tex] est égale à 1.

Mais comme Fred l'a dit, elle n'admet pas de moment d'ordre strictement positif et en particulier pas d'espérance. On ne peut donc pas lui appliquer la loi des grands nombres et ceci est bien illustré par ce petit graphique emprunté à wikipedia qui illustre qu'il n'y a pas de convergence pour la moyenne d'une série de 100 000 tirages indépendants suivant la loi de Cauchy :

Michel Coste

Membre Expert

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Re : loi de cauchy

Je poursuis un petit peu, par une comparaison loi normale / loi de Cauchy. Les deux ont une fonction de densité en cloche. On les fait dessiner par python.

import random as rd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# graphes des fonctions de densité
x=np.linspace(-3,3,100)
y=np.exp(-x*x/2)/np.sqrt(2*np.pi)
z=1/(1+x**2)/np.pi
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,z,color="red")
plt.title("Deux cloches : normale (bleue) et Cauchy (rouge)")
plt.show()

On regarde ensuite l'évolution des moyennes d'une suite de tirages. La loi normale est bien gentille, on peut lui appliquer la loi des grands nombres : sur cinq suites de 10 000 tirages, on voit que la moyenne vient obstinément se coller en 0.
Par contre, pour la loi de Cauchy, on retrouve bien le phénomène présenté dans la page wikipedia. Du fait qu'il n'y a pas d'espérance, on constate qu'il n'y a pas de convergence sur les cinq suites de 10 000 tirages : des soubresauts dans les moyennes viennent l'empêcher.

n = 10**4

x=np.array(range(21,n+1))

for i in range(5):
    y=np.array(moynormal(n)[20:])
    z=np.array(moyCauchy(n)[20:])
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,z,color="red")
   
plt.title("Évolution des moyennes : normale (bleue) et Cauchy (rouge)")
plt.show()

pentium mix

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Re : loi de cauchy

Merci bien

Merci pour toutes vos explications