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Max8100j

Invité

Minimum d’une fonction

Bonjour,
Pourriez vous m’aider à trouver le minimum de cette fonction sur [0;1]
[tex]f(x) = 2(1+x^{2})^{3/2}((1+x^{1/2})-x)[/tex]
J’ai essayé d’étudier les 2 produits séparément et également de dérivée la fonction mais je n’aboutît pas.
Merci pour votre aide

Zebulor

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Re : Minimum d’une fonction

Bonjour,
quand ça paraît compliqué il faut chercher à faire simple , qualitatif plutôt que quantitatif :
Comment se situe $x^{1/2}$ par rapport à $x$ sur ce même segment ?
Quel est le signe des deux facteurs [tex](1+x^{2})^{3/2}[/tex] et [tex]((1+x^{1/2})-x)[/tex] sur ce segment unité.
Quel(s) est(sont) le(s) minimum(s) de ces deux facteurs et en quel(s) $x$ ?

Dernière modification par Zebulor (24-02-2022 06:06:00)

Max919q

Invité

Re : Minimum d’une fonction

J’ai trouvé que le minimum du premier facteur était atteint en x= 0 et que le minimum de l’autre était atteint en x = 1 mais je ne vois pas trop comment avance avec cela

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : Minimum d’une fonction

Bonsoir à tous !

L'énoncé est-il correct ? ((1 + x ^1/2) - x) me ferait plutôt penser à : (( 1 + x)^1/2 - x ) ???

Qu' en est-il exactement ?

Un tracé de fonction peut donner des idées ...

B-m

Maximilien67

Invité

Re : Minimum d’une fonction

Bonsoir
En effet , l’énoncé que j’ai mis comporte une faute et le votre et le bon .
J’ai tracé la fonction et je m’aperçois que le minimum se trouve environ en x=0.3

Michel Coste

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Re : Minimum d’une fonction

Bonsoir,

Plutôt x=0.21465865357586905...

Max7190

Invité

Re : Minimum d’une fonction

Mais est il possible de trouver une valeur analytiquement ?

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Minimum d’une fonction

Sans doute que non.

Zebulor

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Re : Minimum d’une fonction

Bonjour,
si tu avais eu : [tex]f(x) = 2(1+x^{2})^{3/2}((1+x^{1/2})-x)[/tex]

J’ai trouvé que le minimum du premier facteur était atteint en x= 0 et que le minimum de l’autre était atteint en x = 1 mais je ne vois pas trop comment avance avec cela

[tex](1+x^{2})^{3/2}[/tex] possède un minimum en 0
[tex]((1+x^{1/2})-x)[/tex] possède un minimum en 0 et un autre en 1
Tu as deux facteurs positifs. Le minimum de $f$ sur le segment unité est en $x=0$ : abscisse commune des facteurs.

Black Jack

Membre

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Re : Minimum d’une fonction

Mais est il possible de trouver une valeur analytiquement ?

Bonjour,

En étudiant les variations de f, le minimum demandé, après trituration de l'expression de la dérivée première et ...

On aboutit à devoir résoudre : 64x^5 + 15x^4 - 52x³ - 18x² - 8x + 3 = 0 (et retenir la solution réelle)

Il n'y a pas de possibilité de trouver analytiquement la solution.

Par approximations successives, on aboutit à x = 0,214658...