La hauteur de 12 cm.

al berto · 18-02-2022 11:29:57

Bonjour,
Excusé moi. Je voudrais vous poser une question: Un triangle rectangle a un périmètre de 60 cm. La hauteur perpendiculaire à l’hypoténuse est de 12 cm. Combien mesurent les côtés ? Maintenant je demande : la hauteur de 12 cm. est nécessaire?
Grazie
ciao.
aldo.

jpp · 18-02-2022 15:19:56

Salut Alberto

▼une reponse

al berto · 18-02-2022 16:52:03

Ciao Jpp,
Mais a tu utilisé la hauteur de 12 cm. Ou non?
grazie.
aldo.

jpp · 18-02-2022 17:13:17

Oui ,

Si a et b sont les projections des côtes de l'angle droit , alors :

[tex]h^2 = a.b = 144[/tex]

Puis avec 12 = 3 x 4 , on peut suspecter trois triangles rectangles (3n , 4n , 5n)

Avec un périmètre (3+4+5).m = 60

Bernard-maths · 18-02-2022 17:55:52

Bonsoir à tous !

Si le périmètre vaut 60, l'hypoténuse fera au plus 30, et un des côtés de l'angle droit aussi, dans le cas d'un "triangle aplati" ...

Si ABC est rectangle en A, je peux choisir arbitrairement la longueur AB = c, avec 0<c<30, et pour trouver C, il faut le placer sur l'autre côté de l'angle A, de telle sorte que CA + CB = 60 - c. Il faut donc tracer l'ellipse de foyers A et B ... qui recoupera en C !

Il y a donc une infinité de triangles rectangles de périmètre 60. :-)

Si on veut tenir compte de la hauteur de 12 ... on peut conjecturer des cas particuliers avec des côtés de longueurs entières, comme a fait jpp ! MAIS est-on sur d'avoir toutes les solutions ? Il y a aussi les entiers 5, 12 et 13 tels que 5² + 12² = 13² et 5 + 12 + 13 = 30 = 60/2 !!!

Mais la hauteur vaut-elle 12 ???

Et il y en a d'autres, je pense aux triplets de Pythagoe ? !!! Je pense donc qu'il faut encore y réfléchir.

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … ipProp.htm

C'est tout pour le moment, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (18-02-2022 19:31:20)

Assad Fayçal · 19-02-2022 18:22:07

Bonjour,
je note a, b les côtés de l'angle droit, c l'hypoténuse. Bien sûr a²+b² = c², mais aussi, en exprimant l'aire de deux manières, 12c = ab, donc a²+b²+2ab = c²+24c, soit (a+b)²=c²+24c. Le périmètre étant 60, on obtient (60 - c)²=c²+24c, ce qui donne c=25.
Si ABC est rectangle en A, et AC le petit côté, et H le pied de la hauteur issue de H, et O le milieu de [BC] (je ne sais comment joindre un document (geogebra ou image, c'est ma première intervention sur le forum), alors sin(AOC) =12/12.5, donc cos(AOC)=3.5/12.5, soit OH = 3.5. Alors HC = 12.5-3.5 = 9, donc AC = sqrt(9²+12²) = 15.
Finalement, BC = 25, AC = 15, et AB = 20.
Il y avait bien du 3, 4, 5 dans l'affaire !
Merci.
Fayçal

Bernard-maths · 19-02-2022 20:16:44

Bonsoir à tous !

Bien vu ! Mais avec la hauteur ! Que va nous dire Alberto ?

Fayçal, pour déposer un programme GeoGebra, moi je copie le fichier sur cjoint ...

Pour l'ouvrir je le charge de cjoint dans les téléchargements, et avec GeoGebra je l'ouvre ... en général ça marche !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-02-2022 20:18:49)

Wiwaxia · 21-02-2022 09:40:20

Bonjour,

Assad Fayçal a effectivement résolu le problème; un calcul littéral eût cependant permis, en faisant apparaître un paramètre de forme, de répondre clairement à la question d'Alberto .

Le triangle (ABC) rectangle en (C) présente deux angles aigus complémentaires: α + β = π/2 .

On peut reprendre la relation de Pythagore: c² = a² + b² ,
ainsi que les expressions de la hauteur abaissée sur l'hypoténuse: h = b.Sin(α) = a.Cos(α)
et celle du périmètre: p = a + b + c .

On obtient dans ces conditions: h = c.Sin(α)Cos(α) et p.Sin(α)Cos(α) = h(1 + Sin(α) + Cos(α)) ,
cette dernière relation se simplifiant par le changement de variable: α = θ - π/4
car on obtient alors: h/p = (2.Sin²(θ) - 1)/2(1 + √(2).Sin(θ))
soit finalement: Sin(θ) = (1 + 2h/p)/√(2) .

Les angles (θ, α = θ - π/4 , β = 3π/4 - θ) dépendent bien des deux distances (h) et (p).

Dernière modification par Wiwaxia (21-02-2022 11:51:56)

Bernard-maths · 21-02-2022 14:24:30

Bonjour à tous !

Je vous avais dit : une infinité de triangles de périmètre 60. MAIS j'ai laissé la suite ouverte ... pourtant si on impose une hauteur de 12, il n'y a plus de choix ! Et on trouve 5 fois (3,4,5) !

Je vous laisse une figure montrant les variations des triangles lorsque AB passe de 0 à 30, par enregistrement de la trace du segment [AB] : gros truc noir !

Mais quelques remarques en plus ...

Le point A est en haut en ('10,10), et l'angle droit est B0AC0. B0 et C0 sont les positions limites de B et C, donc AB0 = AC0 = 30.
Le cercle rouge de centre A et rayon 12 est là pour constater par ajustements que si (BC) lui est tangente alors on retrouve les valeurs 15, 20 et 25.

Les cercles fins servent à tracer "mon ellipse" rouge fine pour placer C connaissant B.

Enfin, il est amusant de constater que l'enveloppe des segments [BC] est un quart de cercle vert, de centre Q, tel que AB0QC0 soit un carré !

Je vous laisse aussi le programme GeoGebra : https://cjoint.com/doc/22_02/LBvnIUeH4J … -02-18.ggb

REMARQUE : lorsque vous chargez le programme, le truc noir n'est pas afficé ... c'est à vous de le faire : dans la partie gauche allez sur le segment i et cliquer droit sur le disque gris pour activer "afficher la trace". En déplaçant B vous verrez alors le truc noir apparaître !

Pour désactiver la trace, aller sur i et cliquer droit pour désactiver la trace !

ET aussi, il faut que le rond de gauche soit gris, pour que le segment i (qui lui est noir) soit affiché, et donc traçable. SINON cliquer GAUCHE !!!

Volà pour distraire tout le monde, ainsi que el signor Alberto, pardon : al berto !!!

Alberto ! Comme ta question est légèrement ambiguë, j'espère que ma réponse te conviendra ... ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (22-02-2022 20:39:51)

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La hauteur de 12 cm.

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