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Pharès

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Ensemble Lebesgue négligeable

Bonsoir.

J'ai un petit problème sur cet exo.
f une fonction mésurable sur $ \mathbb{R} $
Soit E l'ensemble $ \{(x,t) , 0\leq t \leq f(t)\}$
Les 1eres questions demandaient à ce qu'on montre que E est mesurable ( je l'ai fais) et par ailleurs de montrer que
$ \int_{R}{f(x)}d\lambda(x) = \int_{R}{\lambda}(\{ f > t\})d\lambda(t) $

Maintenant on me pose la question après de monter que le graphe de f est $\lambda_{2} -négligeable$

Ce n'est pas la traduction en terme d'ensemble du graphe de f ni ce qu'on entends par une mesures-négligeable mon problème. Mais comment arriver à trouver cet ensemble contenant le graphe de f et est de mesure de lébesgue nulle !!
Encore plus qu'ils ont dit de déduire. Comment déduire des deux questions précédentes la $\lambda_{2} - négligeable $ du graphe de f.
Merci d'avance pour l'aide.

N.B : $\lambda$ $(resp \lambda_{2} )$ est la mésure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ $( resp \mathbb{R^{2}})$

Fred

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Re : Ensemble Lebesgue négligeable

Bonjour,

  Je ne comprends pas trop le "en déduire". Mais que le graphe de $f$ est négligeable pour $\lambda_2$ vient du théorème de Fubini-Tonelli.
Si $F=\{(x,f(x)):\ x\in [a,b]\}$ est le graphe de $F$, alors
\begin{align*}
\lambda_2(F)&=\int_{[a,b]\times \mathbb R} \mathbf 1_{F}(x,y)d\lambda_2(x,y)\\
&=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y\in\mathbb R}\mathbf 1_F(x,y)d\lambda(y)d\lambda(x).
\end{align*}
Mais à $x$ fixé, la fonction $y\mapsto 1_F(x,y)$ est presque partout nulle (elle est nulle sauf en un point...).

Donc on peut conclure.

F.

Pharès

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Re : Ensemble Lebesgue négligeable

Merci beaucoup.

Bonne journée