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Oogway

Invité

Assertions et suites

Bonjour,

On me demande:

Soit une fonction g : [0, 1] → R. Ecrire a l’aide de quantificateurs le fait
que g est continue sur [0, 1].

J'ai donné comme réponse : Pour tout x appartenant à [0,1], pour tout a appartenant [0,1], lim (f(x)) = f(a) quand x->a.

La correction donne ∀a ∈ [0, 1], ∀epsilon > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ [0, 1], |x − a| < η =⇒ |g(x) − g(a)| < epsilon. Donc elle reprend la définition d'une limite de fonction qui tend vers elle-même finalement.

Mais est-ce que mon assertion est incorrecte tout de même ?

Roro

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Re : Assertions et suites

Bonsoir,

Pour tout x appartenant à [0,1], pour tout a appartenant [0,1], lim (f(x)) = f(a) quand x->a.

Cette assertion n'est pas correcte d'un point de vue logique (indépendamment qu'elle soit vraie ou fausse, qu'elle réponde à ta question ou pas).

Que penses-tu de cette assertion ?
$$\forall x \in \mathbb R \quad \lim_{x\to 0} f(x) = 1.$$

Que penses-tu de celle-ci ?
$$\lim_{x\to 0} f(x) = 1.$$

Si tu as compris la différence (et qu'il y en a une qui n'est pas correcte), tu dois pouvoir corriger ce que tu as donné comme réponse pour que ça devienne correct...

Roro.

P.S. Etre rigoureux lorsqu'on commence à faire de l'analyse est une qualité fondamentale sans laquelle on a très peu de chance d'y arriver...

Dernière modification par Roro (02-02-2022 20:59:03)

Zebulor

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Re : Assertions et suites

Bonjour,

∀a ∈ [0, 1], ∀epsilon > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ [0, 1], |x − a| < η =⇒ |g(x) − g(a)| < epsilon

Regarde si çà peut s'appliquer en $a=1/2$ pour la fonction $g$ telle que :
$\forall x \in [0,1/2]$, $g(x)=x$ 
$\forall x \in ]1/2,1]$, $g(x)=x-1$

et tu verras que l'assertation n'est pas vraie pour $g$

∀a ∈ [0, 1]
Donc elle reprend la définition d'une limite de fonction qui tend vers elle-même finalement.

.. pas tout à fait.

Comme d'autres intervenants je me suis déjà fait avoir sur ce langage avec des quantificateurs.

Dernière modification par Zebulor (05-02-2022 11:53:38)

bridgslam

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Re : Assertions et suites

Bonsoir,

Il démarre par une fonction g définie sur [0,1]...

Le seul problème d'Oogway, c'est que lim... n'existe pas forcément dans l'égalité. Difficile de prouver quoi que soit avec un objet hypothétique.
Il faut décomposer en deux temps:
- lim... existe
- lim ... = g(a) etc.

La formulation avec les inégalités a l'avantage de tout faire d'un  coup.

A.

Dernière modification par bridgslam (03-02-2022 17:15:27)

Zebulor

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Re : Assertions et suites

re,

Il démarre par une fonction g définie sur [0,1]...

le manque de sommeil me joue des tours; j'ai rectifié mon post 3.

Dernière modification par Zebulor (05-02-2022 11:55:34)

bridgslam

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Re : Assertions et suites

Bonsoir,

Que penses-tu de cette assertion ?
$$\forall x \in \mathbb R \quad \lim_{x\to 0} f(x) = 1.$$

Que penses-tu de celle-ci ?
$$\lim_{x\to 0} f(x) = 1.$$

...

Il faut bien voir que sur un plan logique, quantifier une variable ( x ici) qui est déjà muette ( dans l'abréviation de lim, le x est déjà quantifié, et x devient muette)
n'a pas de sens.
C'est comme si j'écrivais par exemple $\forall x \in \mathbb{R} \; f  = g $  où f et g sont deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

C'est déjà compris dans f = g, assertion qui du coup ne dépend absolument plus de x.
.
Les maths c'est aussi un jeu d'écriture, dont il faut a minima respecter la sémantique.

A.