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mlkio^6

Invité

Exemple ouvert, fermé de R^2

J'essaie actuellement e résoudre des exercices sur les espaces métriques. Mais je ne suis pas certain d'avoir compris ce qui est demandé dans cet exercice. Quelqu'un aurait quelques indications pour la résolution ?

consigne :
Donner un exemple d'une intersection infinie d'ouverts de [tex]R^2[/tex] muni de sa distance usuelle, qui n'est pas un ensemble ouvert.

Merci en tous cas.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exemple ouvert, fermé de R^2

BONJOUR,

  Dans ton cours, tu as probablement un résultat qui te dit que l'intersection de deux ouverts, ou d'un nombre fini d'ouverts, est un ouvert. Ce qu'on veut te faire remarquer, c'est que l'intersection d'un nombre infini d'ouverts n'est pas un ouvert.

Je ne vais pas te donner l'exemple dans $\mathbb R^2$ mais te donner un exemple dans $\mathbb R$ pour qu'il t'inspire.
Si je considère $I_n=]-1/n,1/n[$. Chaque $I_n$ est un intervalle ouvert. Mais que vaut $\bigcap_{n\geq 1}I_n$????

F.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Exemple ouvert, fermé de R^2

Bonjour,

BONJOUR,

  l'intersection d'un nombre infini d'ouverts n'est pas un ouvert.

F.

En général.
Par exemple, cette fois dans $\mathbb{R}^2$ , l'intersection de la famille infinie de disques ouverts $( D(0, r); r \ge R )$ est ... qui est bien un ouvert.
La propriété signifie que ce n'est pas toujours le cas ( contrairement aux fermés par exemple, dont toute intersection reste fermée) .

A.