Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tania

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Messages : 119

Vecteurs

Bonjour,

J'ai deux questions que je n'arrive pas à résoudre, pouvez vous m'aider s'il vous plaît :

1) Soient u et v deux vecteurs, démontrer que "si u et v sont colineaires alors u+v et u-v sont colineaires "

2) " si vecteur(BD) = 2*vecteur(AC) alors (AB)//(CD)" prouver que c'est faux.

Mille mercis !!

Matou

Invité

Re : Vecteurs

Bonjour,

1) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Tu dois pouvoir donner une relation très simple entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (ça devrait être dans ton cours). Ensuite, tu remplaces $\vec{v}$ par son expression en fonction de $\vec{u}$, dans $\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{u} - \vec{v}$. Tu obtiens deux expressions que tu peux factoriser.

2) $\vec{BD} = 2 \cdot \vec{AC}$.
Tu dois prouver qu'une proposition est fausse. Donc, il suffit de trouver un contre exemple. Pour cela, un petit dessin serait utile.
Par exemple, prend A(0, 0), B(0, 1),  C(1, 0)... Je te laisse trouver D.
(AB)//(CD) se traduit simplement avec les vecteurs $\vec{AB}$ et  $\vec{CD}$. Vérifie que la relation attendue n'est pas vérifiée.

Bon courage

Matou

stfj77290

Invité

Re : Vecteurs

Bonjour,
1) Il faut distinguer résolument deux cas : 1er cas ) (u=0 OU v=0) (je ne suis pas sûr qu'en invoquant le "cours", Matou, vous ayez bien envisagé ce cas-là ;)...); 2è cas ) (u<>0 ET v<>0) (le conseil de Matou me paraît alors le bon)
2) je ne comprends pas l'exemple de Matou. Dans ce cas, D=(2,1) et CE N'EST PAS un contre-exemple. Le problème vient encore une fois, me semble-t-il, du cas où on a deux vecteurs nuls, auquel cas les droites ne sont pas définies.
Remarque : c'est vraiment deux questions intéressantes qui obligent à s'interroger sur la notion sous-jacente de "vecteurs liés". Ou alors, j'ai rien compris :))... Cordialement, (j'espère que mes réflexions intéresseront qqu'un...)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Vecteurs

Bonjour,

Bel effort, mais je doute que Tania revienne chercher une autre réponse à la question fin juillet l'ayant posée le 22 janvier 6 mois plus tard...

Proposition de matou. Pourquoi ne serait-ce pas un contre-exemple ?
1. Oui D(2 ; 1). Alors $\overrightarrow{AB}(0\,;\,1)$ et $\overrightarrow{CD}(1\,;\,1)$
    L'un est vertical et l'autre incliné à 45° : ils ne sont pas parallèles.
    Ou encore, il est impossible de trouver $k \in \mathbb R$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$ :
    On aurait $\overrightarrow{AB}(0\,;\,1)= k\overrightarrow{CD}(k\,;\,k)$ et  on devrait avoir alors k=0 et k=1...

2. Sans calculs. Soit M le milieu de [BD]. On a alors $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BM}$
    Et, puisque $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AC}$, alors $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}$
    BMCA est donc un parallélogramme et on a encore (AB)//(CM).
    Pour que (AB)//(CD), puisque B, M, D sont alignés, il faudrait que M et D soient un même point :
    ce n'est pas le cas puisque M est le milieu de [BD].

@+

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stfj

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Re : Vecteurs

merci @yoshi
j'avais mal lu l'énoncé : j'avais lu (BD)//(AC) :)