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#1 19-01-2022 18:12:57

Zebulor
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diagonales_d_un_polygone

Hello,
j'ai trouvé une tite question de géométrie qui pourrait intéresser ..Bernard Maths  par exemple ? :
On considère un polygone convexe a $n$ sommets. En combien de points au plus les diagonales du polygone se coupent elles ?

Dernière modification par Zebulor (21-01-2022 09:15:07)


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#2 19-01-2022 21:00:56

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonsoir !

Moi je pense que ça relève plus du dénombrement que de la géométrie ?

Mais ce n'est pas une tite réponse ... !


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#3 19-01-2022 21:20:24

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonsoir!
tout à fait, et trouvé ça dans un livre : "probabilités pour la prépa"..


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#4 20-01-2022 11:30:45

jpp
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Re : diagonales_d_un_polygone

Salut ,

sauf erreur

Logiquement , deux diagonales se coupent a l'intérieur d'un polygone convexe uniquement lorsque leurs extrémités sont distinctes .

Si le polygone a n cotes , le nombre maximum de points d'intersection des diagonales serait donne par :

[tex]N_i = C_n^4[/tex]. 

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#5 20-01-2022 13:59:32

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Salut,
je n'ai pas étudié la question..
En tout cas le corrigé ne donne pas la même réponse que jpp. C'est un peu plus compliqué que çà..
Toutefois il y a un terme dominant plus ou moins ressemblant à un coefficient près : $\frac {n^4}{8}$.
Certes la formule de jpp marche pour n=4 et n=5, mais..

petite aide

_dénombrer le nombre de diagonales
_ considérer une diagonale et de dénombrer le nombre de diagonales qu'elle intercepte

Dernière modification par Zebulor (20-01-2022 14:56:52)


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#6 20-01-2022 16:34:53

jpp
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Re : diagonales_d_un_polygone

Il y a [tex]\frac{n.(n-3)}{2}[/tex] diagonales  , il me semble ; mais toutes  ne se coupent pas à l'intérieur du polygone

Par contre , a partir de 4 sommets distincts , on peut construire 2 segments qui se coupent .

Avec un octogone irrégulier , on a 70 quadruplets  de sommets , autant de quadrilatères et donc autant de paires de diagonales se coupant en autant de points distincts . Non ?

Ce qui donnerait 1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 ..,.points en partant  du quadrilatère a l'enneagone par exemple .

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#7 20-01-2022 16:54:40

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

re jpp,
Ok pour tes deux premières phrases.
Je n'ai pas tour regardé mais ensuite -je n'ai pas beaucoup de mérite avec la correction sous les yeux-  il y a 110 points d'intersection pour un octogone régulier.
Un raisonnement possible consiste à considérer une diagonale : celle ci intersecte toutes les diagonales sauf elle même, ainsi que les diagonales issues de ses extrémités.


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#8 20-01-2022 17:04:41

jpp
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Re : diagonales_d_un_polygone

Oui , mais je n'ai considère que les points à l,intérieur du polygone , irrégulier en plus . Avec l'hexagone régulier les 3 grandes diagonales concourent en un seul point , 3 points avec un hexagone irrégulier .

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#9 20-01-2022 21:10:41

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Hello jpp,
d'où le "au plus" dans la question de départ ..

jpp a écrit :

Oui , mais je n'ai considère que les points à l,intérieur du polygone

Moi aussi ... et je ne pense pas qu'il puisse y en avoir à l'extérieur, parce qu'il est question d'un polynôme convexe

Dernière modification par Zebulor (21-01-2022 09:21:54)


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#10 23-01-2022 16:20:39

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonjour à tous !

Après plusieurs reprises de 10 minutes, j'ai envie de vous dire :

Un polygone convexe ne peut avoir de diagonales qu'à partir de n = 4 sommets. A partir de chaque sommet on peut tracer une diagonale vers (n - 3) autres sommets, les 2 sommets adjacents étant exclus. En tout on peut tracer donc N = n (n - 3) /2 diagonales ...

Chaque diagonale recoupe chacune des autres ! Il y a donc au plus N (N - 1)/2 points d'intersection ...
Ce qui devrait donner :  n (n - 3) ( n² - 3n - 2) / 8 !!!?

Sauf erreur bien sur ...

Bernard-maths


PS : j'ai vérifié pour n = 1 111 111, et ça tombe assez bien %-))

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2022 18:02:02)


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#11 23-01-2022 18:12:57

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonsoir Bernard

Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !
A partir de chaque sommet on peut tracer une diagonale vers (n - 3) autres sommets

Alors je me replonge dans le bouquin... tu es pas loin de la solution mais y a quelque chose qui cloche ..

Et ta vérification mérite une médaille...

Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 18:13:35)


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#12 23-01-2022 18:16:33

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re !!!

Bien sur il y a une erreur (au moins une), et avec 10 minutes de plus, j'y ai pensé !

Chaque diagonale recoupe chacune des autres, sauf celles issues du même sommet, ou qui arrivent à un même sommet, eh oui !

Ce qui pourrait donner : [n (n - 3) / 2] * [n (n - 3) /2 - (n - 3) - (n - 3)] / 2

"Je vous demande de vous taire", je suis perdu dans les calculs, je finirai demain !

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2022 18:45:53)


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#13 23-01-2022 18:23:41

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

re!
c'est çà si bien que chaque diagonale intersecte $n-4$ diagonales issues de son premier sommet, et autant de son deuxième sommet...
pour ton calcul j'ai $\dfrac {n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}$ points d'intersection.


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#14 23-01-2022 18:47:23

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re !

En tout cas, Zebulor, ta formule est juste pour n=4, n=5 ...


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#15 23-01-2022 21:38:15

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re Bernard,
je peux te dire d'où elle vient si nécessaire. Je te laisse vérifier si elle est juste pour n=1 111 111


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#16 24-01-2022 10:29:07

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonjour à tous !

Mes neurones se sont reposés, même si ils ont tourné au ralenti la nuit !

Il y a plusieurs façons de traiter ce problème !

Zebulor ! Ta formule "ne marche pas" pour n = 6, on doit trouver 15 points ... et toi 18 ...

Voici la formule que j'ai calculée : F(n) = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) /24

A plus, Bernard-maths


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#17 24-01-2022 10:59:56

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Bonjour à tous,
Bernard, on dit que la nuit porte conseil...  mais est ce que "ma" formule n'en est pas moins bonne dans la mesure où la question est :

"En combien de points au plus les diagonales du polygone se coupent elles ?"


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#18 24-01-2022 11:35:11

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Hello !

pour un pentagone convexe, le tracé des diagonales donne toujours "une étoile à 5 branches", et il y a exactement 15 points d'intersection ...


DESOLE je viens de mélanger 2 figures et donc 2 cas, ANNULER !!!

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 12:13:15)


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#19 24-01-2022 11:45:05

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

re,
le raisonnement proposé est le suivant : chacune des N diagonales rencontre N-1-2(n-4) autres diagonales..on a compté chaque point d'intersection en procédant de cette manière (une fois par diagonale) d'où le nombre de points d'intersection possibles, au maximum..
(avec N=n(n-3)/2 )

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 11:46:14)


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#20 24-01-2022 12:16:20

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Hello !

Je reprends ! Voici un pentagone bleu et un hexagone vert convexes, avec toutes les diagonales, et les points d'intersection en rouge.

LAylp0T73Ae_Bibmath-penta-haxa-2022-01-24.jpg

JU'ai sauté le triangle et le quadrilatère convexe, pour lesquels il est "évident" de voir que le nombre de points d'intersections des diagonales est respectivement F(3)=0 et F(4)=1. Ici on peut constater que F(5)=5 et F(6)=15. Evidement c'est "au plus" car si les polygones sont réguliers, dans le cas où n est pair au moins, on aura des superpositions de diagonales et des points d'intersection en moins ... !


A tout à l'heure, mon estomac crie famine !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 12:22:27)


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#21 24-01-2022 12:16:59

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re,
ok Bernard pour l annulation. pas grave cetait pas un devoir  noté


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#22 24-01-2022 13:39:33

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re-hello !

Bon, je revois la formule de jpp en #8, soit Ni=C4n ... ça ressemble fort à la mienne, non ?

Alors Zebulor, quelle est la bonne formule ?

Merci pour ce tit exercice.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 13:40:45)


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#23 24-01-2022 14:09:43

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

Re,
pour le moment la formule du post #13 me paraît bonne, et pour le moment je ne comprends pas comment vous trouvez ce $C_n^4$, 4 en raison des 4 extrémités de deux diagonales ?

La "mienne" et la vôtre donnent le même résultat pour 4 et 5 mais ensuite il y a forte divergence..

Quand $n$ tend vers l'infini ma formule donne un résultat 3 fois plus grand..

je t en prie.

PS : je commence à comprendre après ma longue digestion du repas de midi d'où vient ton $C_n^4$ : une partie à 4 éléments de l'ensemble contenant les sommets des diagonales constitue un point d'intersection

Bernard-maths a écrit :

Alors Zebulor, quelle est la bonne formule ?

Je ne sais pas .. Les deux si elles répondent toutes deux à la question ?

Bernard-maths a écrit :

Zebulor ! Ta formule "ne marche pas" pour n = 6, on doit trouver 15 points ... et toi 18 ...

oui ..je vois çà et je ne comprends pas ce qui cloche

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 17:09:55)


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#24 24-01-2022 17:17:38

Bernard-maths
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Re : diagonales_d_un_polygone

Me voilà de retour, bonsoir à tous !

Je viens de me taper un ptit boulot de compte sur un décagone convexe ! Que voici !

LAyqqSt4zne_Bibmath-d%C3%A9cagone-2022-01-24.jpg

Avec toutes ses diagonales et points d'intersection ... n(n-3)/2=35 diagonales.

Vous pouvez compter les points, il y en 210, ce que prévoient les formules !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 18:17:56)


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#25 24-01-2022 18:01:24

Zebulor
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Re : diagonales_d_un_polygone

re,
210 contre 385 avec ma formule sur un polynôme irrégulier..

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 18:34:59)


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