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YOURI1

Invité

Isomorphismes dans F2[X,Y]

Bonjour,

Je vous remercie de m'aider à construire une démonstration de (1) car j'ai l'impression que ma tentative de démonstration comporte des erreurs.

Je veux montrer que :
 
  ( (F2  [Y])/(( Y^2  +Y+1 )) ) [X]   / ( X^2 + X+Y )  isomorphe  F2 [X,Y]  / ( Y^2 +Y+1 , X^2 + X + Y )      (1)

Appelons π la projection canonique de F2 [X,Y]  vers F2 [X,Y]  / ( Y^2 +Y+1) 

Y  désignant aussi la classe de Y dans  (F2  [Y])/(( Y^2  +Y+1 )) 
   
Je remarque que   ( (F2  [Y])/(( Y^2  +Y+1 )) ) [X]   isomorphe     (F2  [X,Y])/(( Y^2  +Y+1 ))   

  On a donc :

        ( (F2  [Y])/(( Y^2  +Y+1 )) ) [X]   / ( X^2 + X+Y )   isomorphe    (F2  [X,Y])/(( Y^2  +Y+1 ))   / (π (X^2 + X + Y ))

Puisque par l’ isomorphisme φ  on a φ  (X^2 + X + Y ) =  π (X^2 + X + Y )

Si on applique à présent la propriété :
Soit A un anneau, I un idéal de A et J  un idéal de  A/I  alors :  (A/I)/J isomorphe A(I,π^(-1) (J))

      π^(-1) (J)     désignant l'image réciproque de J par π

  Posant A = F2 [X,Y] I= ( Y^2  +Y+1 ) et  J =  π (X^2 + X + Y ) 
 
   Je ne vois pas pourquoi on aurait :
π^(-1)[π (X^2 + X + Y ) ]  = (X^2 + X + Y )  et donc je ne vois pas comment démontrer (1)
Y a-t-il des erreurs dans mon tentative de démonstration. Si oui pouvez-vous m‘aider à en construire une qui soit juste.

Merci beaucoup

YOURI

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Re : Isomorphismes dans F2[X,Y]

Bonjour,

J'ai résolu mon problème car en appelant P la projection canonique de A vers A/I  j'étais passé à côté de ce que P^-1 (J) =I+J

P^-1 (J) désignant l'image réciproque de J par P