Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mayna Milan

Invité

Probabilités : Exercice sur des lois discrètes

Bonjour, je me permets de vous soumettre une petite question à propos d'un exercice de mathématiques sur lequel je bloque depuis quelques jours et auquel je ne trouve pas la solution malgré le support du cours et des recherches sur internet (j'ai quelques difficultés en mathématiques et je suis très vite dépassé par les notations, je serai donc reconnaissant envers quiconque me permets d'avancer dans cet exercice (devoir maison) de mathématiques/statistiques) :

Voici l'exercice :
On suppose deux variables aléatoires discrètes X et Y. La variable X suit une loi uniforme [tex]U([\![0,n]\!])[/tex] et Y une loi binomiale [tex]B(n,p)[/tex].

1) Donnez les lois de probabilité et le support de chacune des lois.
Réponse (ou du moins des éléments de réponse) :
Loi de [tex]X[/tex] : [tex]P(X=x_k)=\frac{1}{n+1}[/tex]
Loi de [tex]Y[/tex] : [tex]P(Y=y_k)=np[/tex]
Supports : [tex]X(\Omega)=[\![0,n]\!][/tex] et [tex]Y(\Omega)=[\![0,n]\!][/tex]

2) Donnez les espérances mathématiques, les variances et les écart-types de X et Y :
Eléments de réponse : Ce sont des lois usuelles, donc on a :
[tex]E(X)=\frac{n}{2},E(Y)=np[/tex]
[tex]V(X)=\frac{n(n+2)}{12}, V(Y)=np(1-p)[/tex]
[tex]\sigma_x = \surd{\frac{n(n+2)}{12}},\sigma_y=\surd{np(1-p)}[/tex]

3) Déterminez la covariance de X et Y, qu'on notera à l'avenir
Eléments de réponse :
[tex]C[/tex] pour des soucis de lisibilité :
[tex]Cov(X,Y)=E(XY)-\frac{n^2p}{2}[/tex]

4) a) Donnez le coefficient de corrélation de X et Y.
Eléments de réponse :
[tex]\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}[/tex]
b) Donnez la fonction affine permettant de réaliser une régression linéaire affine telle que [tex]Y=f(X)[/tex]. Représentez graphiquement cette régression linéaire.
Eléments de réponse :
Dans le cadre d'un ajustement affine on a : [tex]\alpha = \frac {Cov(X,Y)}{V(X)}[/tex] et [tex]\beta=E(Y)-\alpha E(X)[/tex]. Et enfin : [tex]Y=\alpha X + \beta[/tex]
c) L'ajustement par régression linéaire est-il de qualité ?
Elément de réponse : Dépendant du coefficient de corrélation.

Voici grosso modo mon avancement dans l'exercice. Toutefois, j'ai un problème dans la question 3 pour calculer [tex]E(XY)[/tex] qui me permettrait alors de déterminer la forme de la covariance et ainsi calculer les éléments nécessaires pour répondre à la question 4).

Si vous avez des éléments de réponse à m'apporter je vous remercie d'avance !
J'espère ne pas vous importuner et surtout travaillez bien !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Probabilités : Exercice sur des lois discrètes

Bonjour,

  A mon avis, tu ne peux pas calculer $E(XY)$ sans avoir d'informations supplémentaires sur la façon dont dépendent $X$ et $Y$.
L'espérance $E(XY)$ ne dépend pas, en général, uniquement des lois de $X$ et de $Y$, mais elle dépend de la loi du couple $(X,Y)$.
Et ici, rien dans l'énoncé que tu donnes ne nous permet de calculer la loi du couple $(X,Y)$.

F.

Mayna Milan

Invité

Re : Probabilités : Exercice sur des lois discrètes

Bonjour,
D'abord merci pour votre réponse !
Toutefois il me semble que l'on peut calculer l'espérance de Z=XY en utilisant la loi du couple XY telle que
P
[tex]P(X=x_i et Y = Y_j)[/tex] ce qui formerait la loi de couple.
Mais encore une fois comme les variables ne sont pas indépendantes : on ne peut pas calculer l'intersection facilement et donc la probabilité conditionnelle/la loi marginale etc...ce qui me ramène au même problème : comme les.lois ne sont pas indépendantes : E(XY)≠E(X)E(Y) mécaniquement.

Encore merci pour votre réponse

LA PATRIE

Membre

Inscription : 09-04-2022

Messages : 1

Re : Probabilités : Exercice sur des lois discrètes

Je vous sollicite de votre bienveillance des exercices de probabilités des lois discrète.