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dupont

Invité

logarithme neperien

Bonjour

j’ai besoin de votre aide pour cet exercice de maths Merci :)

Exercice 1: La chenille de l'épicéa est un parasite qui cause des dommages importants par la
défoliation des arbres. Le nombre d'individus d'une population de chenilles peut être modélisée par
une fonction P définie sur [0; +infini[ par P(t) = 200e^0,3t , où t est le temps en jours à partir du
début de l'étude.
1) Donner le tableau de variations complet de la fonction / sur [0; +infini [
2) On cherche le temps au bout duquel la population aura double.
2)a) Préciser P (0) et puis montrer que l'on cherche t tel que e^0.3t = 2
2)b) Résoudre l'équation e^0,3t = 2. Donner le temps nécessaire au doublement en jours et heures.

Dernière modification par yoshi (09-01-2022 14:56:30)

yoshi

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Re : logarithme neperien

Bonjour,

Toi, qu'as-tu déjà fait ?
Si tu bloques,  dis-nous ce qui te bloques et pourquoi pour qu'on puisses t'aider efficacement...

Je ne dois avoir la même compréhension du français que l'auteur de l'exercice.
En effet, je lis :
1)  Donner le tableau de variations complet de la fonction / sur [0; +infini[
     Au passage, la fonction / c'est bien a fonction P ? Ou alors P/200 ?
      Si oui, je trouve curieuse la première partie de la question 2a) PréciserP (0)

Pour moi, un tableau de variation complet sur [0 ; +oo[ comprend forcément les limites éventuelles, les valeurs particulières (extremums) éventuels. Donc Si / c'est P alors P(0) est déjà dans le tableau, sauf si / c'est P/200...

Quoi qu'il en soit, la variation globale de $P(t)= 200e^{0,3t}$ est la même que celle de $e^x$...

@+

Black Jack

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Re : logarithme neperien

Bonjour,

Ce que je comprends de la question 2 (que je trouve claire).

On a P(0) = 200
et on doit chercher la valeur t1 de t pour que P(t1) = 2.P(0), soit P(t1) = 2 * 200 = 400
... et cela revient à résoudre 200 * e^(0,3t) = 400, soit donc e^(0,3t) = 2 ... (comme indiqué en 2a)

yoshi

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Re : logarithme neperien

Bonsoir,

Je ne disconviens pas de la clarté de la question 2, je l'ai bien sûr résolue tout comme toi, sans l'offrir au demandeur...
Simplement, j'ai dit que si j'ai à tracer un tableau de variation complet de la fonction P définie sur [0 ;+oo[, tout naturellement, j'y loge déjà P(0)...
Et je ne vois pas, dans ce cas, pourquoi on redemande dans 2a) cette valeur...

Sauf que le demandeur a écrit dans son énoncé :

tableau de variations complet de la fonction / sur [0; +infini [

Et cela m'a interpellé :
Je fais pas mal de fautes de frappe mais taper / au lieu de P m'a paru gros (sauf peut-être avec un mini clavier, genre Mobile)...

Je me suis donc demandé ce que venait faire là ce / et je me suis dit, que "emporté par son élan", notre ami avait peut-être oublié P et 200 en voulant taper P/200...
Mais, même dans ce cas c'est gros !

Donc, je me suis refusé à tirer de conclusion hâtive, et j'attendais une réponse de Dupont...

@+

dupont

Invité

Re : logarithme neperien

Bonjour et merci pour vos réponses rapides , en fait j’ai un contrôle de maths sur les logarithmes neperiens mais je comprends pas grand chose j’essaie d’avoir un exercice corrigé pour essayer de  mieux comprendre ahah et effectivement je me suis trompé la barre / c’est P .

yoshi

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Re : logarithme neperien

Re,

Le logarithme et l'exponentielle sont liés elles sont réciproques l'une de l'autre :
$\ln(e^x)=x$
$e^{\ln(x)}=x$
$e=e^1\approx 2,7182818284590452353602874713527...$  et $\ln(e)= 1$
N-B : existe aussi notamment le logarithme décimal : il est tel que $\log(10)=1$

Attention le logarithme n'est défini que sur $]0\,;\,+\infty[$ :
Il a les propriétés suivantes : 
_  $\ln(a\times b)=\ln (a)+\ln(b)$ 
   D'où on déduit :
   $\ln(a^n)=n\times\ln(a)$
   En effet
   $\ln(a^n)=\ln(\underbrace{a\times a \times \cdots\times a}_{n\; facteurs\; a})=\underbrace{\ln(a)+\ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n\;termes\; égaux\; à \;\ln(a)}=n\times \ln(a)$

- Et évidemment $\ln\left(\dfrac a b\right)= \ln(a) - \ln(b)$

Le logarithme décimal possède aussi ces mêmes propriétés.
Si je demande : pour quelle puissance entière n, le nombre $2^n$ est-il supérieur ou égal à 1 000 000, je cherche n tel que $2^n\geqslant 1\,000\,000$ ?
On peut tâtonner, certes, mais le logarithme donne directement la réponse...
Le logarithme est une fonction croissante sur $]0\,;\,+\infty[$,
donc :
$2^n\geqslant 1\,000\,000 \Longleftrightarrow \ln(2^n)\geqslant 1\,000\,000$
$\Longleftrightarrow$
$n\ln(2)\geqslant \ln(1\,000\,000)$
$\Longleftrightarrow$
$n\geqslant \dfrac{\ln(1\,000\,000)}{\ln(2)}$
Et le calculatrice me donne :
$n \geqslant 19.931568569324174...$
Et donc la réponse est 20....

Vérification
$2^{19}=524\,288 <1\,000\,000$ mais  $2^{20}=1\,048\,576$
J'ai répondu hier à une question où la réponse était aussi basée sur l'emploi du logarithme :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14690

Voilà un aperçu rapide de l'utilisation du logarithme.

@+

jerrx

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Re : logarithme neperien

Bonjour s'il vous plaît j'aurais besoin d'aide sur le calcul d'une limite  : c'est la limite lorsque x tend vers 0 de (1/x)*ln((exp(x)-1)/x) .