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Quentintin

Invité

Interieur d'un ensemble

Bonsoir!

J'ai du mal à comprendre l'affirmation suivante, si quelqu'un pouvait donc m'expliquer pourquoi elle prouve que l'interieur d'un ensemble est bien vide: "Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble A est vide, on peut, pour tout x∈A, trouver une suite (xn) dans le complémentaire de A qui tend vers x"

Merci d'avance

Quentin

bridgslam

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Re : Interieur d'un ensemble

Bonjour,

Cela revient à dire que tout x dans A appartient à l'adhérence du complémentaire de A, qui est en fait le complémentaire de l'intérieur de A.
On aurait une incompatibilité si l'intérieur de A n'était pas vide, car en particulier les élément de A à l'intérieur de A devrait  appartenir aussi à ce complémentaire...
donc appartenir à l'intérieur de A et à son complémentaire.
Ou dit de manière plus ensembliste, le complémentaire de A contient l'intérieur de A, qui est toujours une partie de A, ce qui n'est possible que si elle est vide.

Remarque qu'on a utilisé l'implication "l limite  d'une suite" => "l  dans l'adhérence", la réciproque est fausse en général si l'espace topologique (que tu ne précises pas) est quelconque ( si non métrisable notamment ).

Alain

Dernière modification par bridgslam (24-12-2021 10:35:44)