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#1 23-12-2021 15:47:37
- pentium mix
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- Messages : 161
Théorie de groupe( automorphisme interieur)
Bonsoir
S'il vous plaît je bloque sur un exercice.
Soit G un groupe. Pour a fixé dans G on demande de déterminer le centralisateur de Ta : G--->G défini par Ta(x)=xax^(-1)
Voilà ce que j'ai essayé de faire mais je suis bloqué: https://www.cjoint.com/c/KLxoMzZp5kf
Après on demande de montrer qu'un automorphisme f est normal si et seulement si x^(-1)f(x) est dans le centre de G
Merci d'avance
Hors ligne
#2 23-12-2021 23:06:46
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Théorie de groupe( automorphisme interieur)
Bonsoir,
Tu n'es pas très loin du résultat.
Tu as démontré que, si l'automorphisme $f$ est dans le centralisateur de $\tau_a$, alors pour tout
$x\in G$, $a^{-1}f(a) f(x)=f(x) a^{-1}f(a)$. Autrement dit, $a^{-1}f(a)$ commute avec $f(x)$.
Mais ceci est vrai pour tout $x\in G$, et comme $f$ est un automorphisme, $f$ est surjective et finalement
$a^{-1}f(a)$ commute avec tout élément de $G$. Ainsi, $a^{-1}f(a)$ est dans le centre de $G$.
Il te reste à prouver que réciproquement, si $a^{-1}f(a)$ est dans le centre de $G$, alors $f$ est dans le centralisateur de $\tau_a$
(ce qui ne doit pas être très compliqué).
Avec cette condition, on se rapproche de la condition mentionnée dans la deuxième partie.
Mais je ne sais pas ce qu'est un automorphisme normal....
F.
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#3 24-12-2021 13:08:37
- pentium mix
- Membre
- Inscription : 27-10-2020
- Messages : 161
Re : Théorie de groupe( automorphisme interieur)
Bonsoir,
Tu n'es pas très loin du résultat.
Tu as démontré que, si l'automorphisme $f$ est dans le centralisateur de $\tau_a$, alors pour tout
$x\in G$, $a^{-1}f(a) f(x)=f(x) a^{-1}f(a)$. Autrement dit, $a^{-1}f(a)$ commute avec $f(x)$.
Mais ceci est vrai pour tout $x\in G$, et comme $f$ est un automorphisme, $f$ est surjective et finalement
$a^{-1}f(a)$ commute avec tout élément de $G$. Ainsi, $a^{-1}f(a)$ est dans le centre de $G$.Il te reste à prouver que réciproquement, si $a^{-1}f(a)$ est dans le centre de $G$, alors $f$ est dans le centralisateur de $\tau_a$
(ce qui ne doit pas être très compliqué).Avec cette condition, on se rapproche de la condition mentionnée dans la deuxième partie.
Mais je ne sais pas ce qu'est un automorphisme normal....F.
Merci bien
Un automorphisme est dit normal s'il commute avec les automorphisme interieur
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#5 26-12-2021 10:26:01
- pentium mix
- Membre
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- Messages : 161
Re : Théorie de groupe( automorphisme interieur)
D'accord. Donc c'est une conséquence immédiate de la question précédente...
Oui oui c'est bien ça
Merci
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