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Werner Franck

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Solution de l'équation homogène d'une équation différentielle

Bonjour tout le monde, je cherche à démontrer que les solutions de l'équation différentielle d'ordre 2 y" + ay' + by = 0 sont de la forme Ae^r1t + Be^r2t avec r1 et r2 des solutions de l'équation x2 + ax + b = 0.

g(t)=e^r1t et h(t)=Be^r2t sont des solutions évidentes. On peut considérer un R-ev E tel que E =  {fonctions f, f" + af' +bf = 0 }. Alors g et h sont deux vecteurs non colinéaires de E. En démontrant que E est de dimensions 2, alors vect(g,h) = E et c'est gagné. Le problème, c'est que je n'arrive pas à montrer que E est de dimension 2. Pourriez-vous m'aider ?

Bien cordialement,

Paco del Rey

Invité

Re : Solution de l'équation homogène d'une équation différentielle

Bonsoir Franck.

Il faut dans un premier temps supposer \(r_1 \neq r_2\).

Ensuite tu effectues un changement de fonction inconnue \(z(t)=y(t)\exp(-r_1t)\) pour te ramener à une équation du premier ordre en \(z'\).

D'après ce que laisse suggérer ton message, tu cherches des solutions réelles. Il y a donc un peu de travail lorsque \( r_1 \notin \mathbb R\).

Paco.

Zebulor

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Re : Solution de l'équation homogène d'une équation différentielle

Bonsoir Werner,

Bonjour tout le monde, je cherche à démontrer que les solutions de l'équation différentielle d'ordre 2 : y" + ay' + by = 0 sont de la forme Ae^r1t + Be^r2t avec r1 et r2 des solutions de l'équation x2 + ax + b = 0

Ca paraît peu précis... voire faux pour certains couples (a,b).

g(t)=e^r1t et h(t)=Be^r2t sont des solutions évidentes.

Veux tu dire que les fonctions $t \mapsto g(t)$ et $t \mapsto h(t)$ sont exactement toutes les solutions cherchées?

Dernière modification par Zebulor (17-12-2021 05:06:43)