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Khaled274

Invité

Fonction zêta de Riemann

Bonsoir
Comment montrer que Zeta(x)^2 est la série des diviseurs de n / n^x ?
Merci.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : Fonction zêta de Riemann

Bonsoir,

  Quand on fait le produit de deux séries de Dirichlet (séries en $a_n / n^x$ et non en $a_n x^n$ comme les séries entières), tu as la formule suivante
$$\left(\sum_{n\geq 1}a_n n^{-x}\right)\left(\sum_{n\geq 1}b_n n^{-x}\right)=\sum_{n\geq 1}\left(\sum_{ij=n}a_i b_j \right)n^{-x}.$$

(il suffit d'écrire le produit et de regrouper les termes pour se rendre compte que cela est vrai).

On a donc

$$\zeta^2(x)=\sum_{n\geq 1} c_n n^{-x}$$
où
$$c_n=\sum_{ij=n}1\times 1.$$
Il te faut encore te rendre compte que $c_n$ vaut le nombre de diviseurs de $n$.

F.