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Johny

Invité

Dérivation fonction justification

Bonjour, je fait un exercice dans lequel je dois être le plus rigoureux possible pour dérivée une fonction. Le problème étant que je ne sais pas si ma rédaction que j'adopte depuis toujours est rigoureuse alors je me permet de vous la faire parvenir pour avoir vos avis :)

Enoncé: Calculer la dérivée des fonctions suivantes, en précisant rigoureusement le domaine sur lequel le calcul est valide : [tex]a(x)=exp(cos^2(x))[/tex] (je vous en met qu'une)

Voici ma réponse :

Je dis que exp(x) est défini et continu sur R, de même pour les fonctions cos(x) et [tex]x^2[/tex]
Puis je dis que par composition, a(x) est défini est continus sur R.
Puis je calcul a'(x) (sans rien préciser)
Puis j'évalue le domaine de définition et de continuité de a'(x) de la même façon que précédemment (en occurence ici,  [tex]a'(x)=-2\times sin(x) \times cos(x) \times exp(cos^2(x))[/tex]) donc a'(x) est défini et dérivable sur R

Je conclus de tout celà que a(x) est dérivable sur R. Est ce que cette rédaction vous paraît rigoureuse ? Merci

bridgslam

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Re : Dérivation fonction justification

Bonjour,

Pas du tout.
Il n'est pas logique de calculer d'abord une dérivée, pour dire ensuite que c'est dérivable... cela revient à mettre la charrue avant les boeufs.
De surcroît, ce procédé pourra  faire sortir du champ de dérivabilité certains points plus singuliers où ( par exemple ) la dérivation directe n'est pas possible au moyen des opérations sur les dérivations, alors que la dérivée ( calculée localement en se ramenant à la définition ) existe tout de même: par exemple raccord "lisse" de deux fonctions complètement différentes en un point etc.
Ainsi comment vas-tu calculer la dérivée de la fonction égale à l' identité sur [tex]\mathbb{R}-[/tex] et arctg sur $\mathbb{R}+$?
En 0 ce n'est  dérivable de façon calculatoire pour aucune ( chacune n'a pas d'expression de part et d'autre de 0), par-contre la fonction donnée sur [tex]\mathbb{R}[/tex] y admet des dérivées à droite et à gauche égales.

Ici on a produit, composition... de fonctions dérivables en tout point de [tex]\mathbb{R}[/tex], donc elle est dérivable.
De mon côté je préfère raisonner comme cela, pour ne pas prendre la question à l'envers...

A.