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marclg

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conclusion d'une dérivation

Bonjour à tous,

en pleine reprise d'étude en cours à distance et je galère un peu sur un sujet.

J'ai la fonction donnée [tex]f(x)=aln(rx)+b-x^-1[/tex]
Normalement Le domaine de définition est de [tex]x>0[/tex]
Et la dérivée est de [tex]f'(x)=1/x^2+1/x[/tex]

Et c'est la que ça bloque.

On me demande de déduire du résultat précédent que la fonction  ?  est strictement croissante sur son domaine de définition.
Puis de Montrer que  lim?→0?(?)=−∞  et que  lim?→+∞?(?)=+∞  à partir des limites usuelles des fonctions  ln  et  ?↦?−1  (hyperbole).
Et enfin  en déduire que l'équation (1) a une unique solution.

Malgré les cours et mes recherches je bloque.
Merci pour le petit coup de pouce

Marc

Fred

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Re : conclusion d'une dérivation

Bonjour,

  Première chose, ta dérivée est fausse : cela devrait être $f'(x)=\frac1{x^2}+\frac ax$.

Ensuite, tu dois absolument connaitre le lien entre signe de la dérivée et monotonie de la fonction.
Pour ce qui t'intéresse ici, tu sais que si $f'$ est strictement positive sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Bien sûr, pour conclure à la stricte positivité de $f'$ ici, il faut avoir des informations sur le signe de $a$.

Enfin, concernant les limites, commençons par $+\infty$, en réponsant successivement aux questions suivantes :
1. quelle est la limite de $\ln(x)$ quand $x\to+\infty$?
2. quelle est la limite de $\ln(rx)$ quand $x\to+\infty$?
3. quelle est la limite de $a\ln(rx)$ quand $x\to+\infty$?
4. quelle est la limite  de $1/x$ quand $x\to+\infty$?
5. quelle est la limite de $f(x)$ quand $x\to+\infty$?

F.

marclg

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Re : conclusion d'une dérivation

Bonjour,

Effectivement c'est une erreur de frappe pour la dérivé mais j'ai bien trouver[tex]f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}[/tex]

Et les lettres a, b et R sont des nombres strictements positifs

Du coup qu'est ce qui permet de conclure à la strict positivité de f'?

c'est ok pour le fait que si [tex]f'[/tex] est strictement positif sur [tex]I[/tex] alors [tex]f[/tex] est croissante.

C'est ok pour les limites, je suppose que je fais la même chose pour [tex]x->0[/tex]?

Merci pour ces infos

Fred

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Re : conclusion d'une dérivation

Du coup qu'est ce qui permet de conclure à la strict positivité de f'?

On fait des additions, des quotients et des produits de réels tous strictement positifs, non?