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AHopelessBoy

Invité

Montrer une équivalence

Bonjour,

Je viens ici pour y quémander un peu d'aide (le mot est fort il est vrai) pour ce simple exercice : 

Montrer que A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ (E \ B) = A ∩ (E \ C).

Je ne comprend pas ce qu'on attend de moi. J'ai essayé de mon côté et je me retrouve bloqué ici :

A ∩ B = A ∩ C ⇔ (A ∩ E) ∩ (A\B) = (A ∩ E) ∩ (A\C)

Un peu d'aide serait donc la bienvenue !

Merci beaucoup !

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 802

Re : Montrer une équivalence

Bonjour,

Je ne sais pas comment tu arrives "bloqué" à ce que tu dis...
Comment commences-tu la preuve de cette équivalence ?

Si tu as une équivalence à prouver, souvent il est utile de prouver deux implications. Commence donc pas essayer de prouver que
$$A\cap B = A \cap C \quad \Rightarrow \quad A\cap (E\setminus B) = A \cap (E\setminus C).$$

Tu supposes donc que $A\cap B = A \cap C$ et tu veux montrer $A\cap (E\setminus B) = A \cap (E\setminus C)$.

Pour montrer une égalité entre deux ensembles, là aussi il y a un truc qui découpe le travail : montrer deux inclusions. Commence par montrer que $A\cap (E\setminus B) \subset A \cap (E\setminus C)$.

Tu prends donc $x\in A\cap (E\setminus B)$ et tu vas voir qu'il n'est pas très difficile d'en déduire (en utilisant l'hypothèse $A\cap (E\setminus B)$ que $x\in A \cap (E\setminus C)$.

Ça peut sembler un peu long, mais si tu regardes bien, par des arguments de symétrie, tu auras terminé toute la preuve...

Roro.

Dernière modification par Roro (25-10-2021 14:38:58)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Montrer une équivalence

Bonjour,

Par involution du complémentaire, si tu montres une implication, tu montres l'autre avec le même procédé...
Ensuite, si tu pars de l'égalité gauche, qu'ontiens-tu en intersectant avec la réunion du complémentaire de B et du complémentaire de C ?
C'est immédiat.

Alain

Dernière modification par bridgslam (26-10-2021 09:27:11)