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anne1234

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Problème algèbre projection orthogonale et produit vectoriel

Bonjour,
J'ai un problème qui me pose problème et je bloque sur la question b. J'apprécierai beaucoup un peu d'aide.
a)Il faut vérifier que les 4 points A(1,-1,1), B(3,0,3), C(2,3,4) D(0,2,3) sont des sommets Consécutif dun parralèlogramme.
Pour le a) je ne suis pas certaine de ma démarche mais j'ai fais ceci;
Démontrer que AB Et CD sont colinéaire par test colinéarité résultat ils sont colinéaires et donc non parallèle ( je ne sais pas trop ce que cela signifie dans mon problème )
Ensuite j'ai trouvé l'air en faisant le produit vectoriel de AB et AD puis la norme.
La question b me pose plus de problème et je ne vois pas du tout quoi faire...
b)Trouvez un vecteur orthogonal au plan contenant ce quadrilatère. Trouvez l'interprétation géométrique que l'on peut donner a la norme du vecteur que vous venez de trouvez ?
Merci!!

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : Problème algèbre projection orthogonale et produit vectoriel

Bonjour,

Démontrer que $\overrightarrow{AB}$ Et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaire par test colinéarité résultat ils sont colinéaires et donc non parallèle ( je ne sais pas trop ce que cela signifie dans mon problème )

Colinéaire au sens strict du terme signifie : qui apparient à la même ligne.
Parallèle : deux droites parallèles n'ont pas de point commun (même si on peut dire qu'une droite est parallèle à elle-même).
Ici pour que ABCD soit un parallélogramme, il est nécessaire que les côtés (AB) et (CD) soient parallèles (Ainsi que (AD) et (BC).

A(1,-1,1)
                 $\overrightarrow{AB}(3-1\, ;\, 0-(-1)\,;\, 3-1)$ soit $\overrightarrow{AB}(2\, ;\, 1\, ;\, 2)$
B(3,0,3)

C(2,3,4)
                $\overrightarrow{CD}(0-2\, ;\, 2-3\,;\, 3-4)$ soit $\overrightarrow{CD}(-2\, ;\,-1\, ;\,-1)$
D(0,2,3)

Je regrette mais tes deux vecteurs  $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne vérifient pas la condition de colinéarité : il est impossible trouver un réel k tel que  $\overrightarrow{AB}= k.\overrightarrow{CD}$

La 3e coordonnée pose pb, sinon on pourrait avoir $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\;(=\overrightarrow{DC}$) et ton parallélogramme se nommerait bien ABCD.

Démontrer que 2 vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux suffit pour prouver que ABDC est un parallélogramme.
Démontrer que 2 vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux suffit pour prouver que ABCD est un parallélogramme.

D'autre part ton souci vient de ce que dans la question a) tu utilises la propriété qu'on te demande de "découvrir" dans la question b)

Moralité : Question a) à refaire...

@+