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#1 22-10-2021 01:59:11
- Collateral_
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espace engendré
Bonjour à vous et merci encore à tout les intervenants pour prendre le temps de répondre aux gens merci.
J’écris ce sujet car dans le cadre de l’algèbre linéaire jai rencontrer quelque difficultés.
Par exemple, si je considère une famille de deux vecteurs de R^4 libre (les deux vecteurs sont pas proportionnel), ces deux vecteurs engendrent donc un sous espace de R^4 de dimension deux. Soit v1 v2 ces deux vecteurs
Donc je sais que DimVect(v1,v2)=2
Donc là tout vecteur x qui appartient à l’espace engendré par ces deux vecteurs s’écrit comme une combinaison linéaire de v1 et v2, x=a(v1) + b(v2)
Maintenant pour savoir si un vecteur quelconque de R^4 appartient à l’espace engendré par v1 et v2,
il faudrais vérifier que ce vecteur se décompose comme combinaison linéaire de v1 et v2 OU que les coordonne de ce vecteur quelconque vérifie une condition de v1 et v2 ( une équation, un système)
C’est un problème simple mais le problème c’est que ça à retourner ma tête et que je ne suis plus en mesure de traduire ce problème en un systeme d’équation.
Dans une correction qui se passe dans R^5, j’ai vu qui fallait déterminer les équations de A=Vect(1,3,-2,2,3);(2,7,-5,6,5);(1,3,0,2,1)
Le système qui en résulte est a+3b-2c+2d+3e=0
2a+7b-5c+6d+5e=0
a+3b+2d+e=0
Je ne comprend absolument pas pourquoi pour faire ce système il a pris chaque vecteur et a multiplié par a,b,c,d,e respectivement la première puis deuxieme .. coordonnées de chaque vecteur pour en déduire 3 équation a 5 inconnue.
Ce que je comprend pas c’est d’où sort ce système, pourquoi chaque ligne est égale a 0 . Car ces trois vecteurs engendrent un espace, ils appartient donc à cet espace et les coordonnées de la base devraient vérifier le système pourtant ce n’est pas le cas.
Il est clair que j’ai pas compris quelque chose de fondamental en algèbre linéaire pourtant en épluchant le cours et en essayant d’appliquer les définition comme un robot je me perd et tout perd son sens. 3 vecteur de R^5 m’empêchent de dormir.
Merci à tout ceux qui auront eu le courage de lire ce pavé soulevant des questions (pas trop pertinente faut bien le dire). Merci beaucoup
Dernière modification par Collateral_ (22-10-2021 02:02:45)
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#2 22-10-2021 03:08:45
Re : espace engendré
Salut !
Peut être que dans ton exercice tu cherches à déterminer l'orthogonal $A^\perp$ de A ? C'est du moins ce que tu cherches à faire en étudiant ce système.
Quel est le contexte de cette correction, c'est pour répondre à quelle question ?
A+,
Choukos
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#3 22-10-2021 08:47:49
- bridgslam
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Re : espace engendré
Bonjour,
De deux choses l'une,
Soit tu fais intervenir dans ton système linéaire les coordonnées du vecteur particulier qui t'intéresse, et si tu montres qu'il existe une solution, alors ce vecteur est bien dans l'espace engendré...car combinaison linéaire des vecteurs donnés...
Soit tu écris un système homogène sans second membre, si il n'admet que 0,0,0...0 comme solution, ça veut dire que ton système de vecteurs est libre. Ce sera alors une propriété intrinsèque à ton lot de vecteurs, sans aucun rapport avec d'autres vecteurs ( sauf si tu as un nombre de vecteurs égal à la dimension de l'espace entier, si libre, c'est une base, et tout vecteur en sera combinaison linéaire).
Je ne vois pas vraiment ce qui te chiffones.
Alain
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#4 22-10-2021 09:40:58
- Collateral_
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Re : espace engendré
Merci beaucoup pour vos reponses.
Je comprend comment on montre qu’une famille de vecteur est libre (av1 +bv2…) a=b=…=0 voudrais dire qu’elle est libre.
Ce que je ne comprend pas c’est lorsque on a une famille de vecteur comme par exemple l’exemple avec les trois vecteur de R^5 et qu’on regarde l’espace engendré par ces 3 vecteur, c’est Vect(v1,v2,v3) cependant ce que je ne comprend pas c’est comment de ce Vect on aboutit aux équations de cet espace engendré.
Dans l’exemple que j’ai donner (qui sort du Grifone) on demande de trouver les équations de F+G, ou F et G sont deux sous espace de R^5 qui sont engendré par v1 v2 v3
La question c’est comment on trouve les équations de cet espace et pourquoi
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#6 22-10-2021 15:52:38
- Collateral_
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Re : espace engendré
Merci à tous pour vos réponses, Choukos non même pas c’est pas une somme direct en fait dans l’exercice on a F et G deux sous espace de R^4
F=vect{(1,3,-2,2,3),(2,7,-5,6,5),(1,2,-1,0,4)}
G=Vect{(1,3,0,2,1),(2,7,-3,6,3),(1,1,6,-2,-1)}
On demande ensuite de trouver une base de F, G, F+G(pas somme directe donc au sens de l’union je pense)
On remarque que la famille qui engendre F est liée, celle de G aussi
On note donc {v1,v2} une base de F (deux des trois vecteurs qui engendrent F)
On note aussi {w1,w2} une base de G
On a donc que F+G est engendré par
Vect{v1,v2,w1,w2} on remarque que cette famille est liée donc
F+G = Vect{v1,v2,w1}
Maintenant on demande ( je recopie exactement la question) : Déterminer les équations de F+G
La question est comment à partir de Vect{v1,v2,w1}
on aboutit à des équations.
Équations qui permettront de dire si un vecteur quelconque de R^4 appartient a F+G, si les coordonnées de ce vecteur quelconque vérifient les équations de F+G
Le problème c’est que j’arrive pas comprendre d’ou sort ce système( système en de trois équations à 5 inconnu que j’ai mentionné plus haut )
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#8 22-10-2021 20:31:02
- Collateral_
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Re : espace engendré
Oui Alain en effet vous avez raison mais c’est pas ce que je voulais dire ici, quand je dis au sens de l’union je voulais dire qu’on prend la base de F et de G on les met ensemble et on regarde l’espace que l’on obtient, ici il est de Dim 3
J’ai du manquer quelque chose dans les définitions mais je vois pas quoi car j’ai beau lire et relire mon livre d’algébre, je ne comprend pas comment on fais pour trouver ces maudites équations qui caractérisent F+G
Merci encore pour vos réponse
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