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Pages : 1
#1 15-10-2021 20:33:39
- Abdoumahmoudy
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Primalité de X^2 + 1
Bonjour ,
Je voudrais savoir pourquoi X^2+1 est premier dans R[X] ? J'essaie de trouver la démonstration ou de la démontrer mais au vain.
Abdou.
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#2 15-10-2021 21:30:00
- Paco del Rey
- Invité
Re : Primalité de X^2 + 1
Tout simplement parce que $\mathbb R[X]/(X^2+1)$ est un corps. Bien connu par ailleurs.
Paco.
#3 16-10-2021 12:32:42
- bridgslam
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Re : Primalité de X^2 + 1
Ce polynôme n'est pas nul, pas inversible, il reste à montrer que s'il divise un produit de deux polynômes, il divise l'un d'eux.
Par division euclidienne, ça revient à montrer qu'il ne peut pas diviser (X+a)(X+b), ce qui est du calcul.
Remarque:
Comme dans un anneau factoriel, premier équivaut à irréductible, tu peux aussi montrer qu'il n'est pas le produit de deux polynômes de degrés 1.
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#4 25-10-2021 16:15:10
- Abdoumahmoudy
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Re : Primalité de X^2 + 1
Bonjour bridgslam
J'ai pas compris deux choses , pourquoi vous avez dit que X^2+1 est inversible , c'est à dire , comment peut-on trouver un an pôlynome P de sorte que (X^2+1)P=1?
La deuxième chose pourquoi si X^2+1 /PQ ,alors elle divise P ou Q? Comment la montrer?
Dans l'arithmétique dans Z , on a si un entier relatif a divisant bc , alors il divise b ou divise c.Est ce qu'on a la même chose dans R[X] ?
Dernière modification par Abdoumahmoudy (25-10-2021 16:15:36)
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#5 26-10-2021 10:13:24
- bridgslam
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- Messages : 1 302
Re : Primalité de X^2 + 1
Bonjour,
Je n'ai pas dit cela. Relis bien ce que j'ai écrit, et les définitions ( premier, irréductible) dans un anneau.
Alain
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