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martinne987

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Prouver relation d'appartenance selon cardinalité.

Bonsoir,

Soient X, Y1 et Y2 trois ensembles.

[tex]P(X,Y1,Y2) : (X\subset Y1\cup Y2)⇒((X\subset Y1)\cup (X\subset Y2))[/tex]

Comment peux-je prouver que, quand [tex]card(X) = 1[/tex], alors [tex]P(X,Y1,Y2)[/tex] est vrai pour tous les ensembles Y1 et Y2?

J'ai réussi à le démontrer avec des exemples, mais je cherche une démonstration générale/plus formelle.

Merci beaucoup!

Dernière modification par martinne987 (09-10-2021 19:02:01)

Paco del Rey

Invité

Re : Prouver relation d'appartenance selon cardinalité.

Bonjour Martinnne.

On suppose $X\subset Y1\cup Y2$. Soit $x$ l'élément de $X$. On a donc $x\in Y1\cup Y2$, soit $x\in Y1$ ou $x\in Y2$.
Par disjonction de cas :
Si $x\in Y1$, alors on a $X\subset Y1$, donc a fortiori $X\subset Y1\cup Y2$.
Si $x\in Y2$, alors on a $X\subset Y2$, donc a fortiori $X\subset Y1\cup Y2$.

Dans les deux cas, on a $X\subset Y1\cup Y2$.

On a bien démontré l'implication.

Paco.

martinne987

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Re : Prouver relation d'appartenance selon cardinalité.

Merci!!!!