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#1 03-10-2021 15:24:14
- lancelot23236
- Invité
dm suites et fonctions
bonjour j'ai un dm à faire mais je ne comprend pas tout et je pense que je n'ai pas fait tout les chapitres necessaires. Voici le sujet:
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de la suite (Un)n>1 définie par Un= (1+(1/n)^n
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x )= exp^x-x-1
1°) a) Etudier les variations de la fonction f .
b) En déduire que : ∀? ∈ℝ , ?(?)≥0.
2°) Justifier brièvement que : pour tout entier naturel n non nul, la fonction x--> x^n est
strictement croissante sur ]0; +infini[ et que la fonction x--1/x^n est strictement décroissante sur ]0; +infini[
.
3°) En déduire, à l'aide de 1°), les inégalités ( 1) ( 2) et suivantes :
Pour tout entier naturel n non nul : (1 ) exp^(n/1)> strictement 1+(1/n) puis que (2 )exp^(-1/(n+1)) > strictement à 1-(1/(n+1))
4°) a) En utilisant (1 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : (1+(1/n))^n<strictement exp
b) En utilisant (2 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : esp <strictment (1+(1/n))^(n+1)
5°) Déduire des questions précédentes un encadrement de (1+(1/n))^(n+1) puis lim un lorsque n-> +inifni
pour la 1a j'ai trouvé la dérivée qui est esp^x-1 et j'ai dis que elle etait négative pour x<o et positive pour x>0 donc que f(x) est décroissante lorsque x appartient à -infini 0 et croissante sur 0 + infini.
Pour la bj'ai dis que f admet un minimum en 0 et que f(x) > f(0) = f(x) > f(o)
pour la 2 comprend tout à fait que c'est vraie mais je ne sais pas comment le prouver sans utiliser les fonction puissance de x car je ne l'ai pas fait en cour (hérédité peut être ?)
pour la 3,4, 5 je suis en train de chercher
merci d'avoir prix le temps de me lire en esperant que vous m'aidiez.
#2 03-10-2021 15:52:11
- Paco del Rey
- Invité
Re : dm suites et fonctions
Bonjour Lancelot.
2) Tu peux utiliser la factorisation $b^n - a^n = (b-a)\left(b^{n-1} + b^{n-2}a + \ldots + ba^{n-2}+ a^{n-1} \right)$.
pour montrer la croissance de $x\longmapsto x^n$ sur $[0,+\infty[$.
Paco.
#3 04-10-2021 08:32:11
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : dm suites et fonctions
Bonjour,
Alternative (pour la question 2),
Par récurrence :
f(x) = x^n pour x >= 0
Supposons que la fonction x --> x^n (pour x > 0) soit strictement croissante pour une certaine valeur k de n
On a alors, avec h > 0 : (x+h)^k > x^k
Donc x.(x+h)^k > x * x^k
x.(x+h)^k > x^(k+1) (1)
mais on a aussi : (x+h) > x et donc, a fortiori (1) --> (x+h).(x+h)^k > x^(k+1)
(x+h)^(k+1) > x^(k+1)
Donc si x^n (pour x > 0) est strictement croissante pour une certaine valeur k de n, c'est vrai aussi pour n valant (k+1) (2)
On a évidemment que x --> x^n (pour x > 0) est strictement croissante pour n = k = 1
et donc par (2) : x --> x^n (pour x > 0) est strictement croissante pour n = 2
et donc x --> x^n (pour x > 0) est strictement croissante pour n = 3
...
et ainsi de proche en proche, x --> x^n (pour x > 0) est strictement croissante pour tout n de N*
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#4 04-10-2021 15:52:37
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : dm suites et fonctions
Bonsoir,
Encore et encore...
https://forums.futura-sciences.com/math … suite.html
pour la 3,4, 5 je suis en train de chercher
ou tu attends d'avoir suffisamment de biscuits d'un côté pour les donner de l'autre côté et voit ce qu'ils en disent ???...
C'est beau la confiance !
En tous cas le procédé est détestable, et il m'insupporte....
Quelque chose à dire pour ta défense avant que je ferme la discussion ?
Yoshi
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