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Dragonite

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Calcul différentiel

Bonjour, bonsoir,

je commence le chapitre sur le calcul diff bientôt...mais dans un cours de "physique math" et j'aimerais de l'aide sur un exercice.

Soit trois variables x, y, z et une fonction ψ qui les lient entre elles par ψ(x, y, z) = 0 pour tous
(x,y,z) de telle sorte que l’on peu toujours écrire une variable en fonction des deux autres (x =
x(y,z) par exemple).
En écrivant d x = d(x(y, z)) et en développant le membre de droite, trouvez une équation qui
ne dépend que des différentielles d x et d z. En choisissant judicieusement des valeurs pour d x
et d z, démontrez la relation de réciprocité et la relation circulaire.
 

Le soucis est que je ne sais absolument pas par où commencer, en fait je ne suis même pas sur de comprendre la question , si quelqu'un pouvait m'aider à y voir plus clair, ce serait le bienvenue, merci d'avance.

Paco del Rey

Invité

Re : Calcul différentiel

Bonjour.

Je ne trouve pas l'énoncé d'une grande limpidité.

En supposant que $\psi$ est différentiable, et que $\psi(x_0,y_0,z_0) = 0$.
En supposant que les trois dérivées partielles $\dfrac{\partial \psi}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)$, $\dfrac{\partial \psi}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)$, $\dfrac{\partial \psi}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$ sont non nulles, ce qui assure que l’on peut écrire chaque variable en fonction des deux autres dans un voisinage de $(x_0,y_0,z_0)$, on peut écrire :

$\dfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0) = - \dfrac{\dfrac{\partial \psi}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)}{\dfrac{\partial \psi}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)}$,

$\dfrac{\partial x}{\partial z}(y_0,z_0) = - \dfrac{\dfrac{\partial \psi}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)}{\dfrac{\partial \psi}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)}$,

etc.

On en déduit que $\dfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)\times\dfrac{\partial x}{\partial z}(y_0,z_0) = 1$.
(Je suppose que c'est la relation de réciprocité...)

On a aussi la relation entre les coefficients (thermo ?)-élastiques :

$\dfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0) \times \dfrac{\partial x}{\partial y}(y_0,z_0)  \times \dfrac{\partial y}{\partial z}(x_0,z_0) = -1$

et

$\dfrac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0) \times \dfrac{\partial y}{\partial x}(x_0,z_0)  \times \dfrac{\partial x}{\partial z}(y_0,z_0) = -1$.

J'espère avoir bien deviné...

Paco.