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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 18-09-2021 18:42:11
- Xxx777xxX
- Invité
Exercice, récurrence
Bonsoir,
Je bloque complètement sur un exercice de récurrence, je ne vois absolument pas comment je dois me lancer...
Exercice:
On veut déterminer toutes les fonctions ƒ définies sur ℕ à valeurs dans ℕ telles que :
∀n ∈ ℕ, ƒ(ƒ(n)) < ƒ(n+1).
1. Montrer par récurrence que pour tout p entier naturel : ∀n ≥ p, ƒ(n)≥p.
2. En déduire que ƒ est strictement croissante puis déterminer ƒ.
Merci d'avance !
#2 18-09-2021 19:39:53
- Paco del Rey
- Invité
Re : Exercice, récurrence
Bonjour.
Tu peux t'intéresser à un $n\in\mathbb N$ tel que $f(n)$ soit minimum. La question 2. te donne un indice.
Paco.
#4 18-09-2021 22:26:50
- Paco del Rey
- Invité
Re : Exercice, récurrence
Je répète :
D'après la question 2. le minimum de la fonction $f$ serait $f(0)$.
Peux-tu le démontrer ?
Paco.
#5 19-09-2021 07:59:48
- bridgslam
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Re : Exercice, récurrence
Bonjour,
On vérifie que la propriété est vraie si p est nul.
Supposons qu’ elle soit vraie pour un entier p ( hypothèse de récurrence HR), il faut montrer .....
Si [tex]n\ge p+1[/tex] que peux-tu dire de [tex]n-1[/tex] ?
En utilisant HR, et que si un entier k vérifie [tex]k > s[/tex] alors [tex]k \ge s+1[/tex], tu obtiens que...
Alors tu peux conclure la première question.
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#6 19-09-2021 08:14:35
- bridgslam
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- Messages : 1 299
Re : Exercice, récurrence
Re-bonjour,
Pour la 2, on a [tex]f(n+1)\gt f(f(n))[/tex] donc, d’après 1. , on en déduit...
Alain
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#7 19-09-2021 08:30:58
- bridgslam
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- Messages : 1 299
Re : Exercice, récurrence
Pour résumer ( petite synthèse ) :
- f est croissante ( et même strictement )
- pour tout n f(n) vaut au moins n d’après 1.
Par l’absurde, en supposant , [tex]\exists n f(n) \ge n+1 [/tex] que se passe-t-il en utilisant la croissance de f ?
Je te laisse logiquement conclure.
Alain
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