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A Ratomahenina

Invité

Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

Je suis Alain Ratomahenina et je vous présente ma dernière immersion dans les mathématiques d’où je suis ressorti avec cette méthode.
Cette méthode consiste en un grand espoir pour les mathématiques car il s’avère qu’elle arrive à donner la valeur exacte pour le nombre 27, il devrait en être de même pour tous les nombres. Tout ceci dépend de l’identification mathématique de la fonction P(N) qui est semblable en tout point à une fonction logarithmique.
On peut quand même utiliser cette méthode pour une meilleure précision que la fonction de Stierling pour les nombres compris entre 22 et 32 et notamment  les nombres comportent des décimales ex : 23, 732.

Approximation de Alain Ratomahenina.

    

F ( N ) = (  ( N-1 ) ^4 x ( N-2 ) x N x ( ( N^ ( N-7) ) / A ) ) / ( N + 3 )
Où
A = ( ( 2+P ) ^ ( N-7 ) ) x (N/7)
Et
Si N  < 10 calculez alors avec I N – 10 I au lieu de I N – 7 I
P = ( ( (  ( I N – 7 I ) ^ 1.2519732063 )  / 5,67 ) - 0.946 ) / N

N    N !                            F(N)
7    5040                    4536
13    6227020800            6394159268
25    1 551121004E25    1 551464 3E25
27    1 088886945E28    1 088886945E28
53    4 274883284E69    4 271664039E69

yoshi

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

Têtu à ce que je vois : tu te tiens sur le fil du rasoir...
Et comme tu as la grosse tête, la verticale passant par ton nouveau centre de gravité risque de tomber (et toi avec) en dehors de ton polygone de sustentation...
Reste bien assis !

from math import factorial

print(factorial (53))
print (factorial(99))
print(factorial(123))
 

Réponses :

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933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168640000000000000000000000

12146304367025329675766243241881295855454217088483382315328918161829235892362167668831156960612640202170735835221294047782591091570411651472186029519906261646730733907419814952960000000000000000000000000000

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A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Boujour

Comme je le disais la fonction P dont je n'ai réussi à trouver l'équation exacte est semblable semblable en tout point à une fonction logarithmique.  Voici ma version de la fonction P avec un logarithme :

                          ( Log (  I N - 7  I. )^2  /  (  N  / (  5.9366 + (  N / (  N  - ((( N + 1 ) / 32 )^ 4.28  ))))  ~  N!

Cette nouvelle fonction fournit nous dirons une bonne équivalence de la factorielle d'un nombre  .

Wiwaxia

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

Peut-être pourrais-tu regarder du côté de la formule de Stirling

A Ratomahenina

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

Je connais bien sûr la fonction de Stirling mais GOOGLE ne lui reconnais pas le statut d'approximatif,  la résolution de cette dernière etant trop faible contrairement à ma méthode qui elle donne dix chiffres exacts pour le nombre 27 . J'aurais besoin de votre aide à tous pour trouver la forme mathématique exacte de la fonction P(N) car mes versions sont insuffisantes pour obtenir LA VALEUR EXACTE de la factorielle d'un nombre.  Ma méthode repose sur des relations mathématiques vraies et devrait donc fournir des résultats exacts ce qu'à tendance à faire cette méthode  .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour.

Voici une autre version de la fonction P(N)  toujours avec un logarithme. 

    I log ( N / 10 ) I  ×   ( ( -  ( ( N / 10 ) - 6  )^ 1.16  / 98  )  +  .5226 )  =  P(N)

Cette version donne de meilleurs résultats que la fonction de Stirling  .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

J'ai découvert quelque chose d'intéressant dans les logarithmes :

Quand on élève la valeur de x au carré alors la valeur du logarithme correspondant est doublée  ;  quand on élève la valeur de x au cube alors la valeur du logarithme correspondant est triplée,  etc....

yoshi

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Re,

Alors si c'est bien cela dont tu veux parler :
$\ln(x^2)=2\ln(x)$
$\ln(x^3)=3\ln(x)$
......
$\ln(x^n)=n\ln(x)$

alors bravo, tu viens de réinventer la roue  : c'est connu de tout lycéen sérieux qui "mange" des Maths...
Propriété du log :
$\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$ (C'est sur cette propriété entre autres qu'est basé le principe de la "Règle à calculs")
    d'où
$\ln(x^2)=\ln(x\times x)=\ln(x)+\ln(x)=2\ln(x)$

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A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour.
^
La version précédente de la fonction P(N)  présentait un defaut :  le logarithme ne coïncidait pas en 0 avec P(N);  c'est cette légère différence que j'ai ajouté au x du logarithme.  Ce qui donne cette version de la fonction P(N) :

   Log ( (  N / 10  )  + A )  ×  ( ( (  I  (  N / 10 )  -  6  I  )^B / 100  ) + C  )

Où

A = 0.0432      B =  1.05070839    et   C =  0.520587616

Cette version permet d'obtenir une approximation de N!  pour les nombres compris entre 32 et 56 . Cela permet de calculer la factorielle de nombres comme 37.523 et obtenir 4 chiffres exacts.

A TA Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour
J'a commis une petite erreur A n'est pas égal à 0.0432 mais 0.04032   . Ça ne devait pas marcher .....

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonsoir .

Il faut utiliser ma méthode pour avoir de meilleurs résultats que par la fonction de Stirling tout du moins pour les valeurs inférieures à 60 , valeur maximale qu'accepe ma Ti 83 .
Voici une version de P(N) qui donne une approximation des valeurs de N > 18 et N< 60 .

P(N) = ((( - (( N /10 ) - 6 ) ^ A )/ B ) + C ) × Log (( N / 10 ) + D )
Où
A = 1.05115435 ;  B = (((( N / 10 ) - 4 )^4 ) ( N < 34 )) +100  ; C = 0.5205783332  ;. D = 0.04032

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour .

Quand même , pour la fonction P(N) , il n'y a pas moyen avec les développements limités d'établir une façon de calculer sa valeur ? J'ai besoin de votre aide pour ceci et ce ne devrait impossible d'en trouver l'équation . Le résultat en vaut la peine .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour .

Pour obtenir une meilleure précision pour les factorielles des nombres N supérieur à 20 et inférieures à 45 Il faut ajouter au terme (( N / 10 ) -6 )
la fonction suivante
(((( N /10 ) - 4.66 ) ^ 2.08 / 255 ) - 0.012 ) ( N < 45 ))
Vous obtiendrez ainsi une meilleure précision pour les nombres de 20 à 45 .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

Voici une version de P(N) avec la fonction racine :

( - (( N - 50 ) / 93 )^ 2.48 ) + ( √( N / 10 ) / 6 ) = P(N)

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

Ça y est ! J'ai trouvé ! Ça marche ! La factorielle d'un nombre 10 chiffres exacts !
C'est grâce à la forme factorisee qui est une alternative aux développements limites et qui permet d'obtenir approximation de F(x) avec seulement son tracé .
La forme factorisee (x - a ) ( x - b ) ( x - c ) =0 s'annule pour x = a b ou c : on peut donc moduler une courbe à volonté et trouver une approximation de l'erreur entre P(N) et sa première version .
On détermine la forme de l'erreur graphiquement et on cherche son approximation ce qui nous rapproche de la valeur exacte .
J'ai pû échantillonner 3 valeurs exactes de F(N) :

10! = 3628800
F(10) = 3628800

30! = 2652528598 E 21
P(30) = 2653528598 E 21

60! = 8320987113 E 72
F(60) = 8320988113 E 72

Il y a donc maintenant le moyen d'obtenir la factorielle d'un nombre avec 10 chiffres exacts notamment pour N = 47.36 .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

voici quelques explications :

La forme factorisèe comme les devellopements limitès permet d'obtenir une approximation de F(x) et fournir un moyen de calcul autre que la fonction si on ne la connait pas .
On determine graphiqement la courbe d'erreur entre la valeur exacte de P(n) que j'ais determinè grace à un programme de rèsolution et la premiére version de P(n) dans le premier message . Grace à la forme factorisèe on obtient graphiquement une approximation de P(n) .

On rajoute donc a P(n) la forme factorisèe de l'erreur :

(((N - 7 )^1.2519732063 / 5.67 ) - 0.946 ) / N ) + ((( N + 130 ) ( 250 ( N - 27 ) ^ 2 ) (( N - 52 ) / 450 ) (  N - 75 )) / 10 ^10 ) ) = P(N)

On determine une deuxiéme fois l'erreur :

P(N) + ( - (( N - 4.5 ) ( N - 23.55 ) ( N - 27 ) ((( N - 45.15 ) ^2 / 130 ) +  0.05 ) (N - 60.8 ) ^ 1.688 ) / 44 E8 ) = P(N)

Voici quelques exemples :

25! = 1.551121004 E25
F(25)=1.55110661 E25

38!=  5.230226175 E44
F(38)=5.230229738 E44

48!= 1.241391559 E61
F(48)=1.241411351 E61

yoshi

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour ô émule de Saint Simon,

24!=620448401733239439360000

48!=12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000

72!=61234458376886086861524070385274672740778091784697328983823014963978384987221689274204160000000000000000

96!=991677934870949689209571401541893801158183648651267795444376054838492222809091499987689476037000748982075094738965754305639874560000000000000000000000

120!=6689502913449127057588118054090372586752746333138029810295671352301633557244962989366874165271984981308157637893214090552534408589408121859898481114389650005964960521256960000000000000000000000000000

144!=5550293832739304789551054660550388117999982337982762871343070903773209740507907044212761943998894132603029642967578724274573160149321818341878907651093495984407926316593053871805976798524658790357488383743402086236160000000000000000000000000000000000

168!=252607574497319838753801886917134114678628321660161899636045172255501630469951484784279524860515748677740723676917456344471493998101035608260664837215715659672830848592352788164518364067464570288846442542901808782229015393754650015551921726612213033664926565007360000000000000000000000000000000000000000

192!=354996793146960497053355363383973425965094809743694491885455534984190204750249968830591340591162785093141951525209177997501478084577063512837513105442388103085116949108248219929177667335850225156399124325817472036634653562449665740610033707601842063277098323069015230061026956365247457276593902258859903874498560000000000000000000000000000000000000000000000

216!=10020433703146107793945530580431357292843659510789309313207995121373860606589847385945865560132189286729581631646771816292076748699480508994205891351735346846175840399711009180476263461053865430706302603038547814701315906976472960428480208333486967446000761264392925098038248675260009865190052218097905890960111329206361438189114736515107632937864524405156085760000000000000000000000000000000000000000000000000000

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Bernard-maths

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour !

Je pense à la formule de Stirling : n! # (n/e)ⁿ Racine(2 Pi n)

Ainsi 48! = (48/e)⁴⁸ racine(2 Pi * 48) = 1,2392382664425288984015892835297*10⁶¹

Y'a un pb de précision avec la calculette !!!???

NON ! C'est la formule qui n'est pas précise ... :-))

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (27-03-2022 17:47:45)

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

Cette méthode permet de réaliser un programme consistant à la fonction réciproque de la factorielle d'un nombre .
Il suffit d'y entrer la factorielle d'un nombre et celui ci vous retourne le nombre dont c'est la factorielle  16

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

La nouveauté outre le fait que l'on peut maintenant obtenir 10 chiffres exacts sur une factorielle est la forme factorisee comme outil de détermination .
Je dois dire que j'ai fait un programme donnant le cosinus d'un angle 9 ou 10 chiffres exacts grâce à la forme factorisee .
Ce serait bien si ceci devenait connu : on aurait autre chose que les développements limites ...
@Yoshi . J'aimerais bien avoir ton avis .

A Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour

Comme vous l'avez compris la forme factorisee peut aussi bien approximer une fonction comme les développements limités et je voulais faire remarquer que le prétendu auteur de cette forme ( François Viete ) qui l'aurait découverte en 1600~ ne m'a pas été enseigné à l'école et tout comme vous en même temps que le second degré au collège ou au lycée avant 1996 car ELLE N'EXISTAIT PAS ENCORE ! Je ne peux en dire plus car je suis comme vous : je ne sais pas....

Wiwaxia

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

... Je pense à la formule de Stirling : n! # (n/e)ⁿ Racine(2 Pi n)

Ainsi 48! = (48/e)⁴⁸ racine(2 Pi * 48) = 1,2392382664425288984015892835297*10⁶¹

Y'a un pb de précision avec la calculette !!!???

NON ! C'est la formule qui n'est pas précise ...

Une calculatrice programmable peut calculer de grandes factorielles ... mais c'est beaucoup plus lent.
Il suffit pour cela de ramener chaque nouveau produit entre 1 et 10; on trouve ainsi:

200! = 7.886578674.E³⁷⁴ .

A Ratomahénina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

Comme je le disais, la fonction P (N) est semblable en tous points à une fonction logarithmique. Ce qui en diffère c'est la forme de la base du logarithme qui se calcule par la fonction suivante:

(6,2 x (N/10 ) ^ 1,028 ) + 42,55 = B(N)

Il suffit ensuite de calculer le logarithme avec sa base appropriée pour obtenir la fonction P(N).

exemples:

17! =3,556... E 14

F(14) = 3,549... E 14

25! = 1,551... E 25

F(25) = 1,551 ... E 25

61! = 5,075... E83

F (61) = 5,031... E83

Gui82

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Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour,

Tu ne trouves pas que c'est plus précis avec la formule de Stirling, qui existe déja depuis longtemps?

À Ratomahenina

Invité

Re : Methode de calcul approximatif de la factorielle d'un nombre

Bonjour
Pour répondre à gui82 effectivement c'est moins précis mais c'est grâce à la forme factorisee qui corrige les erreurs ma formule devient plus précise :
On reprend l'équation de B(N) précédente et on lui ajouté : (((6.2(N/10)^1.03+42.55) + (((N/10) - 2.55)((N/10)- 5.1))/10.5)) = B(N)