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#1 31-08-2021 16:30:01

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

notion de presque-contenu

Bonjour,

J'avais signalé il y a quelque temps une question délicate sur les suites d'ensembles, voici une possibilité  de réponse ( avec rappel du sujet ) au cas où ce thème aurait interpellé certains, je fournis au moins la trame:

Si E et F sont deux ensembles, E est dit "presque-contenu" (PC) dans F ssi E \ F est fini.
On considère l'ensemble des parties de  [tex]\mathbb{N}[/tex]

- montrer que PC est une relation de préordre dans [tex]\mathcal{P}(\mathbb{N}) [/tex]

Facile ( réflexivité, transitivité ) je passe... par-contre on n'a pas l'antisymétrie, donc pas un ordre.

Soit une suite [tex](E_i)_{i \in \mathbb{N} } [/tex] de parties infinies de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui soit totalement pré-ordonnée par PC.
Montrer qu'il existe une partie X infinie de [tex]\mathbb{N}[/tex] qui est PC dans tous les E_i de la suite donnée.

- on montre successivement:
  Pour tout n entier, il existe toujours [tex]E_k  \; parmi \; E_1, ..., E_n [/tex] tel que [tex]E_k[/tex] PC [tex]E_i[/tex] [tex]\forall i \in \{1,... n \}[/tex]. C'est facile par récurrence sur n simplement avec la transitivité et la totalité du préordre.

On a alors ( en notant k(n) cet entier k ) : pour tout i = 1,,n il existe une partie [tex]F_i  finie[/tex] telle que [tex]E_{k(n)} \backslash F_i  \subset E_i[/tex].  C'est la définition même.

Mais alors soit [tex]G_n = E_{k(n)} \backslash \cup_{ i \in \{1,...,n\} } F_i[/tex]

On vérifiera facilement que :

- [tex]G_n[/tex] est infini, on enlève d'un ensemble infini un ensemble fini.
- [tex]G_n[/tex]  est contenu ( réellement cette fois ) dans tous les [tex]E_k[/tex] pour tous  les k = 1,..., n

Mais il existe [tex]p_n \; entier \;dans \;G_n \;avec \; p_n \ge n [/tex] pour tout n  avec l'infinitude des [tex]G_n[/tex]
Pouvoir définir une telle suite suppose tout de même l'axiome du choix dénombrable.
L'ensemble des images X de la suite [tex]( p_n ) [/tex] est donc forcément infini.

Moralité:   [tex] si \;  k \le n \; , \;  p_n \in E_k  [/tex] montre que X ( infini) est  PC dans tous les [tex]E_i[/tex]

Soit la suite s déduite de p en ordonnant par ordre croissant les images toutes différentes de la suite p.
On pourrait montrer aussi en considérant les termes de la suite s de rangs impairs, et ceux de rangs pairs, qu'on peut trouver un ensemble Y infini vérifiant la propriété cherchée, et en plus jamais "presque-égale" à un quelconque [tex]E_i[/tex] dans le sens où pour tout i [tex]E_i \backslash Y[/tex] est infini. Un résultat encore plus fort de café donc !

Cette preuve charmante est issue d'un papier de Sierpinski, en lien ( lemme ) avec l'hypothèse du continu et un ultra-filtre en toile de fond. Pour la suite, faut s'accrocher ( induction transfinie etc )...

Alain

Dernière modification par bridgslam (01-09-2021 07:33:50)


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