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Rodrigue12

Invité

Algèbre multilineaire

Bonjour comment vous allez ?
J'ose croire que toute la famille se porte très bien
Ma préoccupation est celle d'un exercice.
Énoncé:
f est un endomorphisme d'un C-espace vectoriel Ê de dimension finie
1) On suppose que f est diagonalisable .
      a) Montrer que f² est diagonalisable
      b) Montrer que Kerf=Kerf²
2)Donner un exemple Où f² est diagonalisable et f ne l'est pas
3) Montrer que si f² est diagonalisable et si kerf=kerf² alors f est diagonalisable
4) Montrer que si f inversible si et seulement si f² est inversible
Merci de bien vouloir m'aider

bridgslam

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Messages : 1 913

Re : Algèbre multilineaire

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?

1)
    a)le cours, si f est diagonalisable, qu'elle est la matrice de [tex]f[/tex] dans une base choisie convenablement ?
    Que dire alors de la matrice de [tex]f^2[/tex] dans cette même base ? Qu'en déduire ?

    b) une des inclusions est immédiates entre [tex]ker( f )[/tex] et [tex]ker( f^2 )[/tex]
    De plus comment peux-tu montrer que [tex] im f[/tex] et [tex]im f^2[/tex] ont la même dimension ( idée: se servir des matrices du 1)
    et remarquer qu'un complexe est nul ssi son carré est nul  ).
    Que déduire pour les dimensions des noyaux ? conclusion ?

   Une autre façon de procéder, si tu ne connais pas le théorème du rang, est de montrer [tex]f(x) = 0 \iff f^2(x) = 0 [/tex] en exprimant
   un vecteur x quelconque de E dans une base propre, les images par l'un ou l'autre endomorphisme étant de composantes faciles à trouver dans cette base. 

2)et 3) c'est un peu plus costaud, relativement classique et rapide si tu connais le lemme des noyaux (redémontrable ici dans le cas particulier de l'exercice).
    Il faut distinguer selon qu'une valeur propre est nulle ( alors selon l'égalité supposée des deux ker, les espaces propres associés à la valeur propre 0 relatifs à f et au carré de f seront identiques ) et si une valeur propre n'est pas nulle, on fait jouer ses deux racines carrées  (complexes) . Le théorème sur la décomposition en somme directe avec les sev propres ( quand diagonalisable ) est à exploiter, sachant que chaque sev propre [tex]E_{\mu}[/tex]pour [tex]f^2[/tex] est somme directe de deux sous-espaces propres pour [tex]f[/tex] (faire intervenir les deux  racines de [tex]\mu[/tex] (redémontrable directement, ou avec le lemme des noyaux...) .

4) remarquer qu' un endomorphisme est inversible ssi 0 n'est pas une valeur propre.

Pas trivial quand-même sans aucun guide... et il faut bien avoir en-tête les théorèmes relatifs aux sommes directes.

On peut toujours t'aider sur le forum, par-contre écris au moins ce que tu a essayé, sinon on fait l'exo à ta place ce qui ne présente absolument aucun intérêt...

Question subsidiaire: pourquoi MULTIlinéaire ??

Alain

Dernière modification par bridgslam (31-08-2021 12:29:06)