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#1 15-08-2021 11:00:47

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 182

crible de Poincaré

Bonjour

A quoi sert le crible de Poincaré pour le diagramme de Venn ?
card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A inter B) pour deux sous ensembles d'un ensemble.
C'est pour vérifier que la somme de toutes les parties donne l'ensemble de départ ?

Merci d'avance.

Hors ligne

#2 17-08-2021 19:24:08

PoY
Invité

Re : crible de Poincaré

Le crible de Poincaré est utilisé en probabilités et en combinatoire pour compter le nombre d'éléments dans une réunion finie d'ensembles finis.
Lorsque l'on traite de deux ensembles A et B, la formule présente une symétrie intéressante. En notant |A| = card(A), on a les deux égalités :
|AuB| = |A| + |B| - |AnB| (permet de calculer le nombre d'élément d'une réunion en fonction de celui de l'intersection)
|AnB| = |A| + |B| - |AuB| (permet de calculer le nombre d'élément d'une intersection en fonction de celui de la réunion)

Intuitivement, ce crible permet de compter le nombre d'éléments dans chaque région délimitée dans le diagramme de Venn associé aux deux ensembles, en évitant de compter deux fois les mêmes éléments.

Par exemple, imaginons un ensemble E d'habitants d'une ville. On note A l'ensemble des habitants de cette ville vivant en appartement, et B l'ensemble des habitants de cette ville qui achètent leur pain le matin.
Au préalable, on a déjà A inclus dans E et B inclus dans E.
Ensuite, le diagramme de Venn associé aux ensembles A et B va créer 4 régions :
1) Une pour A et B (AnB) (habitants vivant en appartement achetant leur pain le matin)
2) Une pour A mais pas B (A\B) (habitants vivant en appartement n'achetant pas de pain le matin)
3) Une pour B mais pas A (B\A) (habitants ne vivants pas en appartement achetant du pain le matin)
4) Une hors de A et de B, mais toujours dans E (E\(AuB)) (habitants ne vivant pas en appartement et n'achetant pas de pain le matin)

Si on veut compter le nombre d'habitants dans AuB (vivant en appartement ou achetant du pain le matin), une première approche serait de compter le nombre d'habitants en appartement |A|, puis le nombre d'habitant achetant du pain le matin |B|, et de les additionner |A| + |B|.
En faisant ça, il se peut que l'on compte deux fois certains habitants : par exemple, parmi les habitants qui vivent en appartement, on aura déjà compté un certain nombre d'habitants qui achètent leur pain le matin.
Le crible de Poincaré vient "supprimer les doublons", c'est-à-dire se débarrasser des habitants que l'on a déjà compté, c'est-à-dire les habitants vivant en appartement et achetant leur pain le matin, à savoir ceux dans AnB.
Ainsi, le calcul total donne |AuB| = |A| + |B| - |AnB|.

(Remarque : nulle part dans le calcul on s'est penché sur le nombre total d'habitants de l'ensemble E. Cela n'a pas d'intérêt vis-à-vis du crible de Poincaré.)

#3 18-08-2021 11:02:36

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 182

Re : crible de Poincaré

(Remarque : nulle part dans le calcul on s'est penché sur le nombre total d'habitants de l'ensemble E. Cela n'a pas d'intérêt vis-à-vis du crible de Poincaré.)

Mais peut être que le crible permet de vérifier qu'on obtient bien l'ensemble E en sommant toutes les parties ? Voir si on a pas fait d'erreur ?

Hors ligne

#4 22-08-2021 12:38:45

PoY
Invité

Re : crible de Poincaré

Uniquement si la réunion de A et B vaut E. Sinon, la réunion de A et B est strictement incluse dans E, et donc on n'obtient qu'une valeur minimale pour le nombre d'éléments dans E.

#5 22-08-2021 12:43:59

PoY
Invité

Re : crible de Poincaré

PoY a écrit :

Uniquement si la réunion de A et B vaut E. Sinon, la réunion de A et B est strictement incluse dans E, et donc on n'obtient qu'une valeur minimale pour le nombre d'éléments dans E.

Dans le cas plus général, si on considère p ensembles E1,...,Ep, ou même P(E) l'ensemble des parties de E, alors la formule généralisée du crible de Poincaré donne en effet le nombre d'éléments de E, en supprimant et en ajoutant de façon alternée les éléments dans les intersections de 1, de 2, de 3, ..., de p ensembles.

Un lien Wikipédia vers la formule générale

#6 26-08-2021 10:36:54

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : crible de Poincaré

Bonjour à tous,

En termes d'inégalités sur les cardinaux, on a aussi les relations de Bonferroni, très amusantes à démontrer en exercice.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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