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eric1

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Intégration d'équation différentielle non linéaire

Bonsoir
S'il vous plaît veuillez bien m'aider à trouver une explication en ce qui concerne la résolution des équations de la forme y''+a.sin(y)=0 où a est une constante non nul.Mieux,la résolution de l'équation différentielle issu de l'étude d'un pendule simple.
Merci d'avance

Zebulor

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Re : Intégration d'équation différentielle non linéaire

Bonsoir,
de mémoire pour le pendule simple on s'en tient au cas des mouvements oscillations autour de la position d'équilibre du pendule (où $y$ est très petit, de sorte que $sin(y) \sim y$, pour se retrouver avec une équation du second ordre classique $y''+ay=0$ ..

Dernière modification par Zebulor (27-06-2021 17:48:30)

Black Jack

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Re : Intégration d'équation différentielle non linéaire

Bonjour,

Les solutions s'expriment via une fonction spéciale, la fonction amplitude de Jacobi (qui est la fonction réciproque d'une intégrale elliptique)
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … _de_Jacobi

Mon singe donne ceci :

[tex]y(x)\to -2 F_{Amplitude Jacobi}\left(\frac{1}{2} \sqrt{\left(2 a+c_1\right) \left(x+c_2\right){}^2}|\frac{4 a}{2 a+c_1}\right)\\\\y(x)\to 2 F_{Amplitude Jacobi}\left(\frac{1}{2} \sqrt{\left(2 a+c_1\right) \left(x+c_2\right){}^2}|\frac{4 a}{2 a+c_1}\right)[/tex]

Dans la majorité des cas cependant, on limite y a de petites valeurs (oscillations de faible amplitude) ... ce qui permet de faire l'approximation sin(y) [tex]\simeq y[/tex]

... on a alors à résoudre l'équation y" + a*y = 0 ... ce qui est sans difficulté.

Dernière modification par Black Jack (27-06-2021 18:05:41)

eric1

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Re : Intégration d'équation différentielle non linéaire

Merci beaucoup pour votre aide.