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#1 14-05-2021 09:23:49

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 325

Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Bonjour à tous !

Puisque certain demandeur juvénile cherche la forme de rectangle d'aire maximale pour un périmètre donné 2p ...

Alors je vous demande, pour un triangle de périmètre donné 3p > 0, quelle doit être sa forme pour qu'il ait une aire maximale ?

Bien sur, après, on peut se poser la question pour un polygone de n côtés, quelle doit être sa forme pour qu'il ait une aire maximale, si on lui impose un périmètre fixe, par exemple égal à n*p, p > 0 ?

C'est juste pour vous amuser ! Moi j'ai encore presque rien démontré ...

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2021 09:25:43)

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#2 14-05-2021 11:14:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 998

Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Bonjour,

Alors pour m'amuser aussi, je dirais

sans aucun calcul (juste intuitivement) :
* pour le triangle : le triangle équilatéral de côté p
* pour un polygone à n côtés, je dirais le polygone régulier à n côtés

Dans les 2 cas comme (pour carré/rectangle), la forme la plus proche du disque...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 14-05-2021 11:58:05

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 325

Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Salut Yoshi !

Ben oui, c'est ce qui est tentant ! Et sans doute vrai ... Mais comment le démontrer ?

KEol3YSyCcf_Polygone-et-aire-max-2021-05-14.jpg

pour donner des idées triangulaires ...

Pour plus, je ne sais pas encore. Récurrence ?

@plus, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (14-05-2021 11:58:36)

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#4 15-05-2021 13:48:42

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 325

Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Bonjour à tous !

1°) Le dessin fait (bien) voir que si on fixe a < p/2, les 2 autres côtés ont une somme b + c = p - a = constante > p/2 ... donc le 3ème point C du triangle se trouve sur une ellipse ... l'aire du triangle vaut alors a * CI /2, si CI est "la hauteur issue de C". Si on déplace le point C sur l'ellipse, "on voit que" CI va diminuer ... donc l'aire maximale est atteinte quand C est "en haut" ! Donc quand ABC est isocèle ...

Si on fait varier la dimension de AB = a, on va constater (on peut calculer !) que l'aire est maximale lorsque a = p/3. Donc si ABC équilatéral !!!


2°) J'ai pas de solution justifiée !!!

Mais je pense qu'on peut tenter une approche itérative, en procédant comme au 1°), par exemple avec un quadrilatère :

Soit ABCD un quadrilatère de périmètre donné p > 0. AB = a et BC = b étant fixés, il reste pour CD = c et DA = d que c + d = p - a - b = constante ... donc D est sur une ellipse da foyers A et C ... l'aire de ACD est maximale pour ACD isocèle en D, donc d = c ...

De "l'autre côté", B est sur une ellipse de foyers A et C aussi ... on aboutit de même à a = b ...


Si on prend ensuite une ellipse de foyer B et D, c'est au tour de faire "dire" que a = d ... etc ... ???

On doit pouvoir arriver à a = b = c = d ? Et donc ABCD carré !


Eh bien, dites moi ce que vous en pensez !

@+, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (15-05-2021 14:09:06)

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#5 15-05-2021 15:39:45

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 131

Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Salut,

Pour info, c'est un sujet "bien" connu. On trouve des réponses un peu partout sur le web, ICI et avec des preuves, LA

Roro.

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#6 15-05-2021 16:02:06

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 325

Re : Polygone d'aire maximale pour un périmètre donné ?

Merci Roro !

Je me doutais que ça devait trainer quelque part, mais je n'ai pas cherché, car j'aime bien cogiter ...

Bonne soirée, B-m

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