Forum de mathématiques - Bibm@th.net

freeman

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[Résolu] integrale

Bonjour,

Je cherche la valeur de [tex]I_n = \int_{\R}\frac{cos^n (x)}{1+x^2}dx[/tex]

Comment faire ? Merci pour votre aide.

Fred

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Re : [Résolu] integrale

Quel est ton niveau de connaissance en mathématiques.
Le moyen de calcul le plus rapide pour cette intégrale utilise la variable complexe
et le théorème des résidus....

freeman

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Re : [Résolu] integrale

Mon niveau n'est plus ce qu'il était, mon dernier cours d'analyse complexe remonte à plus de 20 ans. Mais on y va courageusement:

I(o)= Pi, car on connait la primitive
I(1)= Pi/e, il suffit d'integrer exp(ix)/(1+x²) sur le contour d'un demi-disque posé sur l'axe des abscisses, un seul pôle, on peut majorer f puis son intégrale sur l'arc de cercle en passant en polaires, sin est impaire, etc. C'est juste ?
I(n)=... ok, on exprime cos^n en fonction des cos(kx), changement de variable et alors je coince à nouveau. Un de mes problèmes est que sin^(2k) est paire....

Bref, remettre ses méninges en action demande des efforts. Merci pour ton aide !

Fred

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Re : [Résolu] integrale

Je suis d'accord avec toi pour la valeur de I(0) et de I(1).
Pour la valeur de I(n), voici comment je procèderais :
* Etape 1 : je linéarise [tex]cos^n(x)[/tex] en l'écrivant comme une somme de cos(kx).
* Etape 2 : je calcule l'intégrale de cos(kx)/(1+x^2), en écrivant que c'est la partie réelle de exp(ikx).
* Etape 3 : pour calculer cette dernière intégrale, j'intègre sur le contour que tu décris, il n'y a qu'un pole,
et des résultats généraux (ou un passage en polaire) impliquent que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

J'ai demandé à Maple ce qu'il savait faire. Je m'y suis peut-être mal pris, mais il n'a pas eu l'air de vouloir calculer ton intégrale.
En revanche, voici ce qu'il propose pour l'intégrale linéarisée :

[tex]\int_{\mathbb{R}}\frac{\cos(nx)}{1+x^2}dx=(-1)^{n+1}\pi\sinh(1)[/tex]

Il ne te reste plus que l'étape facile (linéariser) à effectuer!

freeman

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Re : [Résolu] integrale

Merci pour ta persévérance :)

Je vais essayer de terminer ça proprement, pour le sinus aussi.