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#1 29-04-2021 08:33:30

LEG
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Messages : 637

Conjecture de Goldbach vraie ou indécidable ?

Bonjour

Est ce que cette conjecture pourrait être indécidable ?

suite aux conditions et explications montrées dans ces documents, relatif à l'impossibilité d'infirmer la conjecture de Goldbach pour toute limite $n\geqslant{3}$ fixée , où il n'existerait pas de limite 2n, 2n+2 qui ne pourrait être vérifiée, c'est à dire il existerait une limite $2n={p+q}$ qui serait impossible à vérifier...

Avec la condition : on suppose que les limites 2n - 2, 2n - 4 , 2n - k ont été vérifiées et donc :
Il vient que la propriété récurrente de l'algorithme de Goldbach interdit par conséquent cette possibilité d'indécidabilité....
https://www.cjoint.com/c/KHxiZT0RcWW
https://www.cjoint.com/c/KECi6gJ31IB
https://www.cjoint.com/c/KEbh5EIOjka

les programmes des algorithmes utilisés son sur le forum programmation  , programme en python LEG .. dernière page 16.

Dernière modification par LEG (23-08-2021 08:53:02)

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#2 04-05-2021 09:04:03

Bernard-maths
Membre
Inscription : 18-12-2020
Messages : 336

Re : Conjecture de Goldbach vraie ou indécidable ?

Bonjour LEG, et les autres !

Dans les documents joints, on voit que pour tout entier pair, il existe un certain nombre de paires de nombres premiers possibles.

Ne peut-on pas chercher à montrer que pour un nombre pair, 2n, il existe un nombre premier p <= n, tel que q = 2n - p est premier ?

... peut-être que je tourne autour du pot ?

Bon courage, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-05-2021 09:04:54)

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#3 05-05-2021 08:32:18

LEG
Membre
Inscription : 19-09-2012
Messages : 637

Re : Conjecture de Goldbach vraie ou indécidable ?

Bonjour à tous :
@Bernard-maths
c'est bien ce que j'ai essayé de montrer par des raisonnements : pour tout entier pair $2n\geqslant{4}$ il existe un entier  non nul $A\leqslant{n}$, premier ou pas , qui précède un entier $A' = P'$ premier et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ alors par obligation : pour $n+1$ on aura $(2n+2) - (A'+2) = q $ premier .! La conjecture serra vérifiée pour 2n + 2.

Comme : $P\leqslant\sqrt{2n}$ ne peut diviser $2n - A' = q$ ce qui implique aussi $(2n+2) - (A'+2) = q $ , d'où la différence  $q$ serra bien le même nombre premier.

C'est une propriété récurrente de l'algorithme de Goldbach dans les ""congruences"" qui se décalent d'un rang lorsque lorsque $n$ augmente de 1, donc $2n +2$
par conséquent tout pour tout $A\leqslant {n}$ impair qui précède $A'+ 2 = p'$ premier et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ , sa congruence ""propriété"" se reportera sur $A'$

d'où : $(2n+2) - (A'+2)$ serra une solution vérifiant que $2n+2 = P'+q$ car le contraire serait absurde ...

Donc on n'a nul besoin de s'occuper uniquement de l'existence d'un entier $p\leqslant{n}$ et de l'existence d'un complémentaire $q$ par rapport à $2n$.
Mais qu'il existe toujours pour une limite $n\geqslant{3}$ un  $A\not\equiv{2n}[P]$ qui précède $A'=p'$.

On sait d'après le TNP que quelque soit la limite $n\geqslant{3}$ il existe:
1): $\pi(n)$ équivalent à $\frac{n}{Ln\:n}$ et en 2): $G(n)$ le nombre de $A\not\equiv{2n}[P]$ équivalent à $\frac{n}{Ln\:(2n)}$ qui implique le nombre de premiers $q\in{[n ; 2n]}$ .

On peut d'ailleurs par famille et pour toute limite $N = n/30$ avec $n\geqslant{300}$ en déduire avec la fonction $\frac{\pi(N)}{Ln\:N}$ le nombre de $A' = P'$ qui implique le nombre de couples $P' + q = 2n$ par famille.

Pourquoi : pour toute limite $2n$ vérifiée on a aussi par la propriété de l'algorithme, le  nombre de $A\leqslant {n}$ non congruent à $P$, qui précèdent $A'+2 =p'$.
Cela implique le nombre de solutions qui vont vérifier la limite suivante $p'+q = 2n+2$, donc l'existence d'un $p'\leqslant{n}$ qui sera une solution pour $2n+2 = p'+q$ 

Supposons le contraire pour $n+1$ : il faut que tous les $A$ soient congrus à $2n+2$ modulo $P$.
A) : c'est à dire, ceux qui étaient déjà congrus à $2n$ modulo $P$ , mais aussi ceux qui le seront, ""congrus"" pour $2n+2$ modulo $P$ . Ce qui est clairement impossible, les restes $R$ de la division de $2n$ par $P$ ne sont plus les mêmes pour la division de $2n + 2$ par $P$ avec le même cardinal +1 ... !

B) : Cela modifierait de façon importante le nombre de nombres premier $q\in[n ; 2n]$ qui ont été vérifiés et dénombrés lors de la limite précédente, donc contraire au TNP.

les restes $R$ de $2n$ par $P$ , changent pour toute limite $n+1$, par conséquent les $A$ premiers ou pas , qui précédaient des $p'$ et qui étaient congrus à $2n[P]$ ne peuvent plus l'être , dès  lors ils deviennent en moyenne générale non congru à $2n+2 [P]$ avec ces mêmes nombres $P$ ...
là aussi on aurait une contradiction avec le TNP mais aussi le TFA, si $2n - A$ est un multiple de $P$ il est clair que $(2n+2) - (A'+2)$ serra toujours un multiple de $P$ ; car par évidence, on ne peut pas utiliser les restes $R$ de la limite $n$ précédente.

lorsque $n$ augmente de 1, le nombre de $p'$ restent le même, le nombre de premiers $P$ qui criblent la limite $n+1$ sont les mêmes;

le nombre de $A\equiv{2n+2}[P]$ à une exception près est le même , donc il en est ainsi pour le nombre de  $A\not\equiv{2n+2}[P]$

il vient par conséquent que la variation de $A\not\equiv{2n}[P]$ qui précédaient les $A'=P'$ ,ne peut varier que de façon négligeable..!
Car il n'y a que les index de départ des nombres P qui criblent, qui vont se décaler d'un rang, ce qui occasionne le décalage d'un rang des congruences sur leur successeur $A_i + 2$.

C) : On en déduit donc de façon formelle, qu'un couple de premiers $p'+q = 2n + 2 $ vérifiant la conjecture, $p'$ et $q$ ne sont pas deux événements indépendants, puisque $q$ dépend de la congruence de $p'$ ou encore de $A = p'$ ou pas ! Et tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ $A$ précède un nombre premier $p'$ .

Ou alors il n'y a plus de $A$ qui précèdent un nombre premier $ p'$, ni de premiers $p'$ consécutif pour la limite $n+1$ suivante car ils ont disparus par miracle ce qui est complètement idiot , car l'algorithme est récursif ...

L'algorithme reproduit la même image des congruences de la limite $n$ décalait d'un rang, du fait que les index relatif à chaque nombre premier P augmentent de 1;  ainsi que l'image des nombres premiers $p'$ qui serra la même.

Le contraire est clairement impossible, suivante l'égalité récurrente démontrée : $2n - A$ est identique à $(2n +2) - (A+2)$ ...etc etc...

j'utilise diverses fonction asymptotique du TNP pour estimer le nombre de $A'=P'$ non congrus à 2n modulo P , inférieur à une limite $n$ fixée .

Il faudrait donc éventuellement montrer aussi si possible, un bornage minorant et majorant ce nombres de $A'=P'$ non congrus à 2n modulo P par rapport à $n$  et dès lors cela rendrait analytiquement impossible, l'existence d'un entier $2n\geqslant{6}$ qui ne se décompose pas en somme de deux nombres premiers $p'+q$; sachant que cela n'apportera pas grand chose de plus...

Puisque par supposition, la conjecture étant vérifiée pour la limite $n$ ; il est alors impossible de l'infirmer pour la limite $n+1$ conséquence de cette propriété récurrente de l'algorithme. (" C'est un peu le principe de la démonstration de l'infinité des nombres premiers utilisait par Euclide ")

Dernière modification par LEG (21-06-2021 07:21:18)

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#4 05-05-2021 13:01:57

Bernard-maths
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Messages : 336

Re : Conjecture de Goldbach vraie ou indécidable ?

Bonjour !

j'ai vu, mais c'est très abstrait pour moi encore ...

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#5 06-05-2021 08:44:53

LEG
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Messages : 637

Re : Conjecture de Goldbach vraie ou indécidable ?

Bonjour
c'est l'effet boule de neige que tu as du mal à imaginé alors que la comète de Goldbach est plus simple à visualiser...mais c'est relatif, car elle n'explique pas ce nombre de solutions qui augmentent lorsque $n$ tend vers l'infini, ni le décalage récurrent des congruences sur leur successeur qui en est la cause principale...!

Personne n'a étudié cet effet, c'est beaucoup plus facile à étudier et à visualiser en utilisant qu'un seule des 8 familles de nombre premiers de la forme $30k + (i)$ avec $i\in{1,7,11,13,17,19,23,29}$ , en progression arithmétique de raison 30, de premier terme (i); pour montrer que pour tout $n =15k + (i);\; n \geqslant {150}$ pour $n=15(k+1) + (i)$ il y a par obligation un $A\not\equiv{2n}[P]$ qui précède un $A' + 30 = P'$ ; d'où $2n=30(k+1) + (2i)$ se décomposera en somme de deux premiers $P'+q$. ("Il s'agit bien d'un seul et même événement .")
Car on ne peut pas marquer tous les $P'$ comme si ils étaient tous congruents modulo P , et par conséquent invalider la conjecture pour un entier $2n$ qui existerait.
La raison est simple, il faudrait que l'algorithme/crible de Goldbach dispose des même IDX index de départ des nombres $P$ qui criblent, identiques à ceux d'Ératosthène, ce qui est clairement impossible.

Un autre constat parmi les entiers $A\leqslant{n}$ qui sont non congruent modulo P, les A' = P' ou pas,  ne sont pas indépendant les uns des autres , ils sont criblé suivant le même principe ; avec les même nombres premiers P; pour une même limite $n$ caractérisé ou pas , par les deux fonctions du TNP. Par conséquent : pour $A'=P'$ tel que $A\not\equiv{2n}[P]$ qui implique $q$ , $P' \;et\; q$ ne sont pas deux événements indépendants, c'est le même événement car $q$ dépend de la congruence de $P'$.

Soit on crible le tableau des $P'$ d'Ératosthène avec le crible de Goldbach , soit l'inverse , mais on aura la même égalité du nombres de $A' = P'$ non congrus à 2n modulo P, Ce qui permet par conséquent, d'unifier les deux fonctions du TNP en une seule , qui devient : $\frac{n}{(Ln\:n\:*\:Ln\;2n)}$ pour avoir une estimation de couples $p'+q =2n$ pour tout $2n > 4$.

Note: Une seul famille (i) est suffisante pour montrer la conjecture , on a donc pas besoins de tous les nombres premiers < N, ni de tous les entiers naturels positifs.

Car suivant cette propriété de l'algorithme , où les index augmentent de 1; ce qui décale les congruences d'un rang lorsque $n$ augmente de 15, il s'ensuit un effet boule de neige  : c'est à dire que le nombre de solutions qui décomposent 2n , va augmenter avec un effet oscillatoire soit un peut plus soit un peut moins ...etc.
Mais cela n'aura que peu d'incidences pour une limite $2n = 4*10^{18}$ car ce seront des milliards de solutions qui se décaleront d'un rang ...! En définitive on décale d'un rang l'image criblée précédemment , où seul, le premier élément est inconnu au niveau de sa congruence.

Par Exemple :

Ex: on fixe la limite n = 15k = 300, la fam(i) = 7 progression arithmétique de raison 30 ;
-les A seront représenté par des 1: A ∈[7,37,67,97,127……….277 < 300]
-tableau du crible n//30 [1,1,1,1,1,1,0,0,0,1] P = 7,11,13,17,19,23 le R de 600 par P = 5, 6, 2, 5, ... ("les R de 19 et 23 n'apporteront rient")
On marque les multiples de p par 0
-on calcule j = R + P si R%2=0 , sinon R +=2P → j%30 == fam(i)=7
P=7 , R =5 va donner → 5+14 , 19+14 →33, 47, 61,75, 89, 103, 117,131, 145, 159, 173, 187==7%30,
on calcul l’index : idx = j//30 , 187 // 30 == 6. et on va cribler en partant de idx,« attention on compte en commençant
par 0 ,1 ,2 , n...→n//30 » on marque en rouge les congruent modulo P,  puis par pas de 7 .
cela va donner idx = 6→[1,1,1,1,1,1,0,0,0,1] puis on réitère avec P = 11, R = 6
127 == j%30 et idx = 4→[1,1,1,1,1,1,0,0,0,1] puis on réitère . P = 13, R = 2,
67 == j%30 et idx = 2 → [1,1,1,1,1,1,0,0,0,1] puis on réitère . P = 17, R = 5 donnera 277 ,
277== j%30 et idx = 9→ [1,1,1,1,1,1,0,0,0,1] fin on fait la somme des 1 = 7 A ≢2n[p] = 7 premiers q∈[n;2n].

Donc pour n = 15(k+1) = 315 , les restes R changent , mais les iDX augmentent uniquement de 1 ...! donc on décale les congruences des entiers  1 ou 0 d'un rang.

L'image des congruences devient alors avec un x sur le premier élément car on ignore sa congruence, puisque par supposition on ne cribles pas  :

ce qui va donner pour P=7,idx =7→[x,1,1,1,1,1,0,0,0,1]
127 == j%30 pour P =11 idx = 5 → [x,1,1,1,1,1,0,0,0,1]
67 == j%30 pour P = 13 idx = 3 →  [x,1,1,1,1,1,0,0,0,1]
277== j%30 pour P =17 idx = 10→[x,1,1,1,1,1,0,0,0,1] idx hors limite

déjà on sait que pour n = 15(k+2) = 330 , on aura un élément de plus = 307 . qu'il sera non congru à 2n [P] et par conséquent il vérifiera 30(k+2)
tel que 660 - 307 = q car on sait d'après Ératosthène que 307 = P', Ce qui rend impossible l'infirmation de la CG pour n =15(k+1 ,+2)..etc

Les trois éléments marqués 0 ne sont pas premiers; et deux inconnus au niveau des congruences qui seront  les 2 premiers éléments en bleu, 7 et 37 et les IDX sont : 8, 6, 4, et 11 hors limite

vérification : [x, x,1, 1,1,1,0,0,0,1, 1] et tes premiers $P'\leqslant {n}$ non congruents modulo P sont : x = 7 et 37 ; 67 ;97 ; 157; 277  et 307

On peut aussi pousser plus loin, avec l'analyse des deux intégrales relatif aux deux fonction du TNP, en utilisant le programme de l'algorithme qui donne le nombre de premiers P' criblés par famille:
entiers A non congruent à P , par la fonction $\frac{n}{Ln\:2n}$
nombres premiers p' par la fonction $\frac{n}{Ln\:n}$
nombre de $P'\not\equiv{2n}[P]$ par la fonction $\frac{n}{(Ln\:n\:*\:Ln\;2n)}$, ou plus précis : avec la fonction $\frac{\pi(n)}{Ln\:2n}$ ce serra un résultat minimum

On peut tout aussi bien le calculer avec le nombre de premiers et d'entiers naturels par famille : n//30 , exemple : $\frac{\pi(n//30)}{Ln\:(n//30)}$
etc...etc

Mais le plus surprenant , c'est le rapport entre les premiers $P'$ et les $P'\not\equiv{2n}[P]$ ,pour une limite $n$ qui progresse de raison 15 et par famille. Ce qui n'a jamais été étudié, il en résulte que quelque soit une limite N > 150, et une famille (i) fixée, les densité de couples p'+q = 2n et le rapport tel que défini si dessus seront en moyenne générale les même par famille.
Sachant que la conjecture serait vraie pour les multiples de 30, donc pour les 8 Familles (i), alors elle implique tout nombre pair ainsi que sa famille (i ) correspondante à ce 2n.
je vais rajouté demain en image les tests pour deux autres limites et ses familles (i), avec un test sur les 2n = 30k , avec 4 ou 5 familles la limite serra sera toujours 4500 mds.
En utilisant le programme C++ des deux algorithmes joint en fin de document que je remet. j'ai utilisé la limite $n$ = 4 500 000 000 002 et les Familles (11;17 et 23 mod 30) l'image :
On pourra vérifier et analyser les fonctions d'estimations désignées ci-dessus par famille.

https://www.cjoint.com/c/KHxiZT0RcWW

https://www.cjoint.com/c/KECi6gJ31IB
https://www.cjoint.com/c/KEjflPR7Q1z
https://www.cjoint.com/c/KEjfs52kMqz

https://www.cjoint.com/c/KEhiVXS3RaL
https://www.cjoint.com/c/KEhqLWD4XW3

Dernière modification par LEG (23-08-2021 08:53:51)

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