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#1 30-03-2021 16:24:40
- Dragonite
- Membre
- Inscription : 08-03-2021
- Messages : 14
Integrale en arctan
Bonjour,
Je cherche à intégrer [tex] \int \frac{dx}{[(x+\frac{1}{2}^2)+\frac{3}{4}]}[/tex]
J’ai développé le dénominateur en [tex] x^2+x+1[/tex] puis poser [tex] u^2= x^2+x[/tex]
De telle sorte à pouvoir utiliser [tex] \int \frac{1}{1+u^2}= \frac{arctan u}{u`}[/tex]
Mais ça ne conduit pas du tout au résultat demandé qui est : [tex] \frac{2}{\sqrt3}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt3})[/tex]
Merci d’avance
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#2 30-03-2021 17:16:07
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Integrale en arctan
Bonjour,
Essaie de dériver ceci [tex] \frac{1}{a} Arctan(\frac{x+b}{a})[/tex] par rapport à $x$ et regarde ce que ça donne...
Dans ton changement de variable ton $du$ n'est pas simple d'autant qu'il faut exprimer ensuite $x$ en fonction de $u$
Dernière modification par Zebulor (30-03-2021 20:37:50)
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#3 30-03-2021 21:17:25
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : Integrale en arctan
Bonsoir,
A mon avis ce n'était pas une bonne idée de développer le dénominateur.
Par contre, la bonne idée était d'utiliser le fait que tu connais une primitive de $\frac{1}{1+y²}$.
Je te conseille d'écrire (par exemple) : $\frac{3}{4} + (x+\frac{1}{2})²$ sous la forme $c(1+y²)$...
Roro.
Dernière modification par Roro (30-03-2021 21:17:43)
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#6 31-03-2021 10:17:50
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 509
Re : Integrale en arctan
Bonjour,
Dans la même ligne ... (même but)
Avec $ \int \frac{dx}{(x+a)^2 + b} $ (avec b > 0)
Faire le changement de variables :$ (x+a) = \sqrt{b}.t$
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