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AllysBA

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Intervalles de R

Bonjour.
Je vous expose mon problème :
Soit I un intervalle non de vide R et non réduit à un point.
On pose a=inf(I) et b=sup(I)
1°) Montrer que si a ∉ I et b ∉ I alors I=]a,b[.

J'ai un doute sur ma démonstration :
Pour montrer que I=]a,b[ on montre que I ⊆ ]a,b[ et ]a,b[ ⊆ I

Soit x un élément quelconque de I
x≤sup(A) et x≥inf(A), pout tout x de I
Par conséquent a<x<b, car a ∉ I et b ∉ I et donc x ∈ ]a, b[ et donc I ⊆ ]a,b[

Soit un élément de ]a,b[
on a a<x<b
a = inf(A), donc pour tout ℇ > 0 il existe t ∈ I tel que a + ℇ > t
en posant ℇ=x-a > 0 on obtient x>t

b = sup(A), donc pour tout ℇ > 0 il existe z ∈ I tel que a - ℇ < z
en posant ℇ=b-x > 0 on obtient x>z
Par conséquent t<x<z et donc x compris entre deux éléments de I appartient à I
et donc ]a,b[ ⊆ I

Est-ce que c'est correcte ? si non, qu'est-ce qui ne va pas ? Pourriez vous me conseiller une autre méthode ?

Merci de votre aide.

bridgslam

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Re : Intervalles de R

Bonjour,

Ta démo me semble correcte. Une autre façon de faire est de dire que c'est un intervalle borné de toute façon, donc de la forme (s ; t ).
Il est facile ensuite de voir que s et t sont alors ses bornes inf et sup, donc s et t sont exclus par hypothèse.
Par unicité des bornes inf/sup d'une partie de [tex]\mathbb{R}[/tex] on a alors s =a et t = b.

Cordialement,
Alain

bridgslam

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Re : Intervalles de R

J 'ai implicitement admis que tes valeurs a , b dans ton énoncé étaient finies ( et donc que ton intervalle est borné ).
La démo est la même s'il s'agit de bornes infinies d'un côté ou de l'autre, à une légère variante près selon qu'on se place dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ou bien [tex]\overline{\mathbb{R}}[/tex] car dans le second cas des intervalles du genre [tex] [ -\infty , b [ [/tex] et toutes variantes , ont un sens.
Je suppose quand-même que ta question se situe dans [tex]\mathbb{R}[/tex] et que inf et sup de ton intervalle sont des nombres, ce qui induit forcément que ton intervalle est borné.

Un cadre plus clair serait de spécifier dès le départ "intervalle BORNE", sinon

- si on est dans  [tex]\mathbb{R}[/tex] en cas d'intervalle non borné, automatiquement la ou les bornes infinies ne peuvent appartenir à l'intervalle ( car ce ne sont pas des nombres.
- dans [tex]\overline{\mathbb{R}}[/tex] l'énoncé avec ses précisions de non-appartenance des bornes garde tout son sens.

AllysBA

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Re : Intervalles de R

Bonsoir,
Je vous remercie de vos réponses énormément, c'est très gentille de votre part.
Merci infiniment.
Cordialement