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#1 13-03-2021 14:21:42

chriscran2003
Membre
Inscription : 13-03-2021
Messages : 3

trigonométrie - calcul de cap

Bonjour à toutes et tous.

Je ne suis plus étudiant depuis longtemps, et mes mathématiques sont un peu rouillées... Je cherche à ce que l'on me dégrippe un peu cela... Ce serait vraiment gentil !

Voila le problème qui me nargue :

Afin de pouvoir prévoir une navigation aérienne, je cherche à faire un fichier Excel dans lequel je rentrerais :
- le cap voulu
- la vitesse et la direction du vent
- la vitesse scalaire de l'avion
- la distance terrestre à parcourir.

Voici le code utilisé :
[tex]V[/tex] : pour une vitesse (scalaire)
[tex]\overrightarrow{V}[/tex] : pour une vitesse (vectorielle)
[tex]D[/tex] : pour une distance (scalaire)
[tex]T[/tex] : le temps de parcours
[tex]φ[/tex] : l’angle par rapport au nord

Pour les indices :
[tex]a[/tex] : relatif à l‘avion, dans le référentiel aérien
[tex]v[/tex] : relatif au vent, dans le référentiel terrestre
[tex]t[/tex] : relatif à l’avion, dans le référentiel terrestre

Je connais : [tex] V_a, V_v, φ_v, D_t, φ_t[/tex]
Je cherche : [tex] φ_a, T[/tex]

Voila ma réflexion : la vitesse de l'avion par rapport au sol est égale à la vitesse de l'avion par rapport à l'air + la vitesse de l'air (autrement dit le vent) par rapport au sol.

soit : [tex]\overrightarrow{V_t} =  \overrightarrow{V_a} +  \overrightarrow{V_v}[/tex]

En projetant sur 2 axes orthonormés :
[tex]V_t \times sin(φ_t) = V_a \times sin(φ_a) + V_v \times sin(φ_v)[/tex]
[tex]V_t \times cos(φ_t) = V_a \times cos(φ_a) + V_v \times cos(φ_v)[/tex]

D'où :
[tex]D_t \times T^{-1} \times sin(φ_t) = V_a \times sin(φ_a) + V_v \times sin(φ_v)[/tex]
[tex]D_t \times T^{-1} \times cos(φ_t) = V_a \times cos(φ_a) + V_v \times cos(φ_v)[/tex]

En divisant la première par la seconde, j’obtiens
[tex]\dfrac{sin(φ_t)}{cos(φ_t)}  = tan(φ_t) = \dfrac{V_a \times sin(φ_a) + V_v \times sin(φ_v)}{V_a \times cos(φ_a) + V_v \times cos(φ_v)}[/tex]

Par produit en croix, j'obtiens :
[tex]tan(φ_t) \times (V_a \times cos(φ_a) + V_v \times cos(φ_v)) = V_a \times sin(φ_a) + V_v \times sin(φ_v)[/tex]

En défactorisant :
[tex]tan(φ_t) \times V_a \times cos(φ_a) + tan(φ_t) \times V_v \times cos(φ_v) = V_a \times sin(φ_a) + V_v \times sin(φ_v)[/tex]

Vu ce que je connais (c'est à dire tout sauf [tex]cos(φ_a)[/tex] et [tex]sin(φ_a)[/tex]), j'ai donc une équation de la forme générique
[tex]cos(φ) + A = B \times sin(φ)[/tex]

C'est là que je suis bloqué. Je ne me souviens pas avoir vu ce genre d'équation au lycée, ni même après. Alors voila, je cherche comment écrire [tex]φ_a[/tex] en fonction du reste.

Je vous saurais vraiment gré si vous pouvez m'aider !

Merci d'avance !

Chris

Dernière modification par chriscran2003 (13-03-2021 14:22:25)

Hors ligne

#2 13-03-2021 15:34:29

Chlore au quinoa
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Inscription : 06-01-2021
Messages : 303

Re : trigonométrie - calcul de cap

Salut !

Félicitations de t'attaquer à ça longtemps après les études, cela n'est pas évident...

Pour les équations du type $\cos\varphi +A=B\sin\varphi$, la méthode ''classique'' est tellement astucieuse que je ne pense pas que ça soit possible à trouver (sauf si tu aimes faire du calcul intégral, ça sert souvent).

Il faut utiliser le changement de variable $t=\tan\dfrac\varphi 2$.
Avec ceci, tu obtiens (je te laisse vérifier) $\cos\varphi = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ et $\sin\varphi=\dfrac{2t}{1+t^2}$. Tu auras donc finalement une simple équation de degré 2 à résoudre.

Pour un supplément théorique, les équations du type $a\cos x + b\sin x =c$ se résolvent de la façon suivante :

► Si $a+c\ne 0$, alors le changement de variable précédent fonctionne, on obtient après quelques lignes $(a+c)t^2-2bt+c-a=0$. Il faudra encore discuter selon le signe du discriminant, mais le travail est fait.

► Si $a=-c$, alors on ne peut pas effectuer ce changement de variable à cause du domaine de définition de tangente (l'équation admettrait une solution du type $x=(2k+1)\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$, je te laisse le vérifier ça se fait très bien).

Dans ce cas, on réécrit : $a\cos x + b\sin x =-a$ soit $a(1+\cos x)+b\sin x =0$
Formules trigo : $2a\cos ^2\dfrac x2+2\sin\dfrac x2 \cos\dfrac x2 =0$.

On factorise : $\cos\dfrac x2 \left(2a\cos\dfrac x2+2\sin\dfrac x2\right)=0$

Et là je te laisse résoudre ;) pas super compliqué !


Dernière méthode plus générale  : poser $a'=\dfrac{a}{\sqrt{(a^2+b^2)}}$, $b'=\dfrac{b}{\sqrt{(a^2+b^2)}}$ et $c'=\dfrac{c}{\sqrt{(a^2+b^2)}}$.

L'équation est équivalente à $a'\cos x+b'\sin x= c'$ avec $a'²+b'²=1$ donc il existe $y$ tel que $a'=\cos y$ et $b'=\sin y$... de là tu devrais t'en sortir avec la formule $\cos(a+b)=???$

Bon courage !

Adam

P.-S. : Pour les balises LaTeX un simple "$ au début et à la fin suffit au lieu du [ tex] ^^

Dernière modification par Chlore au quinoa (13-03-2021 16:17:41)


"En mathématiques, on ne comprend pas les choses. On s'y habitue."

J. von Neumann

Hors ligne

#3 13-03-2021 18:50:52

chriscran2003
Membre
Inscription : 13-03-2021
Messages : 3

Re : trigonométrie - calcul de cap

Merci de votre aide. Je vais pouvoir avancer. Je reviendrais si je bloque (ou si je réussi).
Chris

Hors ligne

#4 14-03-2021 15:53:01

chriscran2003
Membre
Inscription : 13-03-2021
Messages : 3

Re : trigonométrie - calcul de cap

Voila, j'ai pu finir mon fichier.
Le cas A-C = 0 est facilement évitable en ajoutant un pouillème de vitesse à l'avion si besoin(de toute façon, on est jamais au centième de nœud près !)

On obtiens deux valeurs de t différentes, donc deux valeurs de $\phi$. On trouve la bonne grâce à la logique (l'une d'elle donne une vitesse négative, sauf dans les cas vents de face et vent arrière, que l'on peut traiter séparément puisqu'ils ne posent pas de problèmes).

Certains cas spécifiques sont hors domaine d'étude : on sais bien qu'on ne peut pas partir si le vent va plus vite que l'avion ne peut l'être.

En lien ici le fichier réalisé. (note : le fichier s'ouvre mal en ligne, mais vous pouvez le télécharger).

Merci encore.

Chris

Dernière modification par chriscran2003 (14-03-2021 15:54:20)

Hors ligne

#5 14-03-2021 17:14:48

Chlore au quinoa
Membre
Inscription : 06-01-2021
Messages : 303

Re : trigonométrie - calcul de cap

Avec plaisir ! Toujours sympa de voir que les maths sont utiles ^^

Adam


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J. von Neumann

Hors ligne

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