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Invité

arithmétique

Bonsoir

Dans un des exercices d'arithmétique du site , il est écrit: "a∧b=a∧(a−b) (on écrit a=b+(a−b))"
Or je ne comprend pas en quoi cela nous affirme qu'il s'agit bien du même PGCD (c'est peut être tout bête mais l'arithmétique et moi...)

Merci d'avance
Mathieu

Chlore au quinoa

Membre

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Re : arithmétique

Coucou !

Il s'agit en réalité du début de l'algorithme d'Euclide pour calculer un PGCD.

Soit $m=PGCD(a,b)$

Je note | pour "divise". On suppose arbitrairement que $a>b$. On a $m|a$ et $m|b$ donc $m|a-b$. Ainsi $m$ est un diviseur commun à $b$ et $a-b$, donc $m\le PGCD(a-b,b)$ (Vois-tu pourquoi ?).

Je te laisse démontrer l'autre inégalité qui te permet de conclure !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 09:40:40)

Math&Yeux

Invité

Re : arithmétique

J'ai tout compris merci!

bonne journée

bridgslam

Membre Expert

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Messages : 1 913

Re : arithmétique

Bonjour,

Il vaut mieux éviter de transiter par un ordre annexe à celui de la divisibilité.
Par exemple on montre que a , a-b d'une part et a,b d'autre part, ont le même ensemble de diviseurs communs, donc le plus grand est le même.

Je te laisse le soin de le prouver par double implication.

Cordialement,
Alain