Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Naxmouk

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Aide exercice Espace de Hilbert

Bonsoir,

J'ai voulu m'entrainer sur un exercice mais j'ai vraiment du mal, pourriez-vous m'aider s'il vous plait

(Espaces de Hilbert). Soit H un espace de Hilbert sur K = R ou C et E un sous espace vectoriel de H. soit ann(E) l’ensemble des formes linéaires continues telles que E ⊂ Ker(f). Montrer que
[tex]\bar E (adhérence) = \bigcap_{f\in ann(E)} Ker(f)[/tex]

Merci d'avance.

Roro

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Re : Aide exercice Espace de Hilbert

Bonsoir Naxmouk,

Qu'as-tu essayé ? et pourquoi bloques-tu ?

Puisque tu as une égalité entre deux ensembles à montrer, tu dois pouvoir distinguer deux étapes :

Etape 1 : montrer que $$\displaystyle \overline{E}  \subset \bigcap_{f\in \mathrm{ann}(E)} \mathrm{ker}(f)$$

Etape 2 :montrer que $$\displaystyle  \bigcap_{f\in \mathrm{ann}(E)} \mathrm{ker}(f) \subset \overline{E}$$

Roro.

Naxmouk

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Re : Aide exercice Espace de Hilbert

Bonjour,

Je ne sais pas du tout comment procéder pour prouver ces deux inclusions.

Chlore au quinoa

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Re : Aide exercice Espace de Hilbert

Salut !

Oulà tu peux au moins essayer ! Si tu veux montrer une inclusion la méthode est toujours la même quels que soient les ensembles; Pour montrer que $A\subset B$, tu fais toujours : soit $x\in A, \,[...]$ donc $x\in B$.

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (11-02-2021 08:23:51)

Roro

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Re : Aide exercice Espace de Hilbert

Bonjour,

Tu peux commencer par montrer que $\displaystyle \overline{E}  \subset \bigcap_{f\in \mathrm{ann}(E)} \mathrm{ker}(f)$, je pense que c'est plus simple.

Tu prends donc $x\in \overline{E}$. Qu'est ce que ça signifie pour toi ?

Roro.